Question

【题目】（1）问题发现：如图1，在等腰直角三角形中，，将边绕点顺时针旋转90°得到线段，连接，则的面积为__________；（请用含的式子表示的面积；提示：过点作边上的高）

（2）类比探究：如图2，在一般的中，，将边绕点顺时针旋转90°得到线段，连接．（1）中的结论是否成立，若成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，将边绕点顺时针旋转90°得到线段，连接．试直接用含的式子表示的面积．（不写探究过程）

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）

【解析】

(1)如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a进而由三角形的面积公式得出结论；
(2)如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有.DE=BC=a进而由三角形的面积公式得出结论；
(3)如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF= BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．

解：（1）如图1，

过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，
∴∠BED=∠ACB=90°，
由旋转知，AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE(AAS)
∴BC=DE=a．
∵S△BCD= BCDE =
故答案为

（2）（1）中结论仍然成立，

理由：如图，

过点作边上的高，

在中，∵，

由旋转可知：，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

（3）.

如图3，

过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a.
∴∠FAB+∠ABF=90°
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB=BD
在△AFB和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED(AAS)，
∴BF=DE= a.
∵S△BCD= BCDE= aa=．
∴△BCD的面积为．