【题目】已知:如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,AE⊥BD,EF⊥CE
(1)试证明△AEF∽△BEC;
(2)如图,过 C 点作 CH⊥AD 于 H,试探究线段 DH 与 BF 的数量关系,并说明理由;
(3)若 AD=1,CD=5,试求出 BE 的值?
【答案】(1)证明见解析;(2)DH=BF,理由见解析;(3)BE=.
【解析】
(1)想办法证明∠AEF=∠BEC,∠FAE=∠EBC即可解决问题;
(2)结论:DH=BF.利用比例的性质首先证明AD=AF,再证明四边形ABCH是正方形即可解决问题;
(3)设正方形的边长为x,在Rt△CDH中,DH=x-1,CH=x,CD=5,可得52=x2+(x-1)2,解得x=4,再通过解直角三角形求出BE的长即可.
(1)证明:∵AE⊥BD,EF⊥CE,
∴∠AEB=∠FEC=90°,
∴∠AEF=∠BEC,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠EBC=90°,∠ABE+∠FAE=90°,
∴∠FAE=∠EBC,
∴△AEF∽△BEC;
(2)解:结论:DH=BF.
理由:∵△AEF∽△BEC,
∴,
∵∠ABE=∠ABD,∠AEB=∠BAD=90°,
∴△ABE∽△DBA,
∴,
∴,∵BC=AB,
∴AF=AD,
∵∠ABC=∠BAD=∠H=90°,
∴四边形ABCH是矩形,
∵AB=BC,
∴四边形ABCH是正方形,
∴AB=AH,∵AF=AD,
∴BF=DH.
(3)设正方形的边长为x,
在Rt△CDH中,DH=x-1,CH=x,CD=5,
∴52=x2+(x-1)2,
解得x=4,
∴AB=4,AD=1,
在Rt△ABD中,BD=,
∵ADAB=BDAE,
∴AE=,
在Rt△AEB中,BE=.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x+与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与直线AC交于点E.
(1)若点P为直线AC上方抛物线上的动点,连接PC,PE,当△PCE的面积S△PCE最大时,点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q,此时点T从点Q开始出发,沿适当的路径运动至y轴上的点F处,再沿适当的路径运动至x轴上的点G处,最后沿适当的路径运动至直线AC上的点H处,求满足条件的点P的坐标及QF+FG+AH的最小值.
(2)将△BOC绕点B顺时针旋转120°,边BO所在直线与直线AC交于点M,将抛物线沿射线CA方向平移个单位后,顶点D的对应点为D′,点R在y轴上,点N在坐标平面内,当以点D′,R,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出N点坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点,,.
(1)画出绕点逆时针旋转后的图形,并写出点的坐标;
(2)将(1)中所得先向左平移4个单位,再向上平移2个单位得到,画出,并写出点的坐标;
(3)若可以看作绕某点旋转得来,直接写出旋转中心的坐标.
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【题目】己知反比例函数(常数,).
(1)若点在这个函数的图象上,求的值;
(2)若在这个函数图象的每一个分支上,随的增大而增大,求的取值范围;
(3)若,试判断点是否在这个函数的图象上,并说明理由.
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【题目】如图,Q是上一定点,P是弦AB上一动点,C为AP中点,连接CQ,过点P作交于点D,连接AD,CD.
已知,设A,P两点间的距离为,C,D两点间的距离为.
(当点P与点A重合时,令y的值为1.30)
小荣根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探宄.
下面是小荣的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值:
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当时,AP的长度约为__________cm.
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【题目】如图,AD是△ABC的中线,tanB=,cosC=,AC=
(1)求BC的长;
(2)作出△ABC的外接圆(尺规作图,保留痕迹,不写作法),并求外接圆半径.
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【题目】已知抛物线与轴、轴分别相交于点A(-1,0)和B(0,3),其顶点为D。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)画出此抛物线;
(3)若抛物线与轴的另一个交点为E,求△ODE的面积;
(4)抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短。若存在请求出点P的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E是BC上的一个动点,将△CDE绕着点E逆时针旋转90°,得到△C′D′E,则A,D′两点距离的最小值等于_____.
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