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【题目】已知:如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,AE⊥BD,EF⊥CE

(1)试证明△AEF∽△BEC;

(2)如图,过 C 点作 CH⊥AD H,试探究线段 DH BF 的数量关系,并说明理由;

(3) AD=1,CD=5,试求出 BE 的值?

【答案】(1)证明见解析;(2)DH=BF,理由见解析;(3)BE=

【解析】

(1)想办法证明∠AEF=BEC,FAE=EBC即可解决问题;

(2)结论:DH=BF.利用比例的性质首先证明AD=AF,再证明四边形ABCH是正方形即可解决问题;

(3)设正方形的边长为x,在RtCDH中,DH=x-1,CH=x,CD=5,可得52=x2+(x-1)2,解得x=4,再通过解直角三角形求出BE的长即可.

(1)证明:∵AEBD,EFCE,

∴∠AEB=FEC=90°,

∴∠AEF=BEC,

∵∠ABC=90°,

∴∠ABE+EBC=90°,ABE+FAE=90°,

∴∠FAE=EBC,

∴△AEF∽△BEC;

(2)解:结论:DH=BF.

理由:∵△AEF∽△BEC,

∵∠ABE=ABD,AEB=BAD=90°,

∴△ABE∽△DBA,

BC=AB,

AF=AD,

∵∠ABC=BAD=H=90°,

∴四边形ABCH是矩形,

AB=BC,

∴四边形ABCH是正方形,

AB=AH,AF=AD,

BF=DH.

(3)设正方形的边长为x,

RtCDH中,DH=x-1,CH=x,CD=5,

52=x2+(x-1)2

解得x=4,

AB=4,AD=1,

RtABD中,BD=

ADAB=BDAE,

AE=

RtAEB中,BE=

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