【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x+与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与直线AC交于点E.
(1)若点P为直线AC上方抛物线上的动点,连接PC,PE,当△PCE的面积S△PCE最大时,点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q,此时点T从点Q开始出发,沿适当的路径运动至y轴上的点F处,再沿适当的路径运动至x轴上的点G处,最后沿适当的路径运动至直线AC上的点H处,求满足条件的点P的坐标及QF+FG+AH的最小值.
(2)将△BOC绕点B顺时针旋转120°,边BO所在直线与直线AC交于点M,将抛物线沿射线CA方向平移个单位后,顶点D的对应点为D′,点R在y轴上,点N在坐标平面内,当以点D′,R,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出N点坐标.
【答案】(1)P(﹣,),Q'H=;(2)N(﹣,)或N(﹣,)或N(﹣,﹣);
【解析】
(1)易求A(﹣3,0),B(1,0),C(0,),直线AC的直线解析式为y=x+,当△PCE的面积S△PCE最大时,当P点到直线AC的距离d最大即可求出点P坐标,进而可求点Q坐标,作点Q关于y轴的对称点Q',作AC关于x轴的对称AC',过点Q'作直线AC'的垂线交于点H,角y轴于点F,交x轴于点G,即可求QF+FG+AH的最小值;
(2)由平移可知抛物线向下移动个单位,向左平移1个单位,易求B'O的直线解析式为y=x﹣,从而可以知道点M的坐标,然后分类讨论:①当D'M是菱形RD'NM的对角线时,②当D'M∥RN时.
解:(1)在中令y=0,解得,∴A(﹣3,0),B(1,0),令x=0,解得,则C(0,),求得,
∴直线AC的直线解析式为,
过点P作PK∥y轴交AC于点K,设,其中,则
∵
∵,
∴抛物线开口向下,
又∵且对称轴为直线
∴当时,S△PCE最大,
∴
∵点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q,抛物线对称轴x=﹣1
∴
作点Q关于y轴的对称点),作AC关于x轴的对称AC'
过点Q'作直线AC'的垂线交于点H,交y轴于点F,交x轴于点G,
∴Q'F=QF,
∵∠CAO=∠OAH=30°,
∴HG=AHtan30°=AH,
∴QF+FG+AH=Q'F+FG+HG=Q'H,
过Q'作Q'M⊥x轴,交x轴于点M,交AH于点N,
∴Q'M=,
在Rt△AMN中,AM=,
∴MN=,
∴Q'N=,
在中,
∴
∴∠HQ'N=∠OAH=30°,
∴Q'H=;
(2)在Rt△OBC中,OC=,OB=1,
∴∠CBO=60°,
∵将△BOC绕点B顺时针旋转120°,
∴∠O'BC=60°,
∴O'(,),
将抛物线沿射线CA方向平移个单位,
∴BB'=,BB'∥AC,
∴∠BB'K=30°,
过点B'⊥x轴,交x轴于点K,
在Rt△BB'K中,B'K=,BK=1,
∴抛物线向下移动个单位,向左平移1个单位,
∵D(﹣1,),
∴D'(﹣2,),
∴B'O的直线解析式为y=x﹣,
M点坐标为方程组的解,
∴M(,),
①当D'M是菱形RD'NM的对角线时,
D'M的中点为(﹣,),
设R(0,n),N(﹣,m),
∵=,,
∴m=﹣,
∴N(﹣,﹣);
②当D'M∥RN时,
设R(0,n),N(﹣,m),
∵D'M2=()2+()2=13,
∴D'N2=()2+(﹣n)2=13,
∴m=或m=﹣,
∴N(﹣,)或N(﹣,);
∴N(﹣,)或N(﹣,)或N(﹣,﹣);
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,其中点B的坐标为B(4,0),抛物线的对称轴交x轴于点D,CE∥AB,并与抛物线的对称轴交于点E现有下列结论:①b2﹣4a<0;②b>0;③5a+b<0;④AD+CE=4.其中正确结论个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】 如图,直线交轴于点,交轴于点,抛物线经过点,交轴于点.点为抛物线上一动点,过点作轴的垂线,交直线于点,设点的横坐标为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点在直线下方的抛物线上运动时,求线段长度的最大值;
(3)若点是平面内任意一点,是否存在点,使以,,,为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.
(1)证明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,
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【题目】已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点,并与四条边分别交于点E、F、G、H,且.
(1)如图①,连接BD,若BD是⊙O的直径,求证:∠A=∠C;
(2)如图②,若的度数为θ,∠A=α,∠C=β,请直接写出θ、α和β之间的数量关系.
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【题目】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形花草园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为16米(如图所示),设这个花草园垂直于墙的一边长为x米.
(1)若花草园的面积为100平方米,求x;
(2)若平行于墙的一边长不小于10米,这个花草园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;
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【题目】已知:如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,AE⊥BD,EF⊥CE
(1)试证明△AEF∽△BEC;
(2)如图,过 C 点作 CH⊥AD 于 H,试探究线段 DH 与 BF 的数量关系,并说明理由;
(3)若 AD=1,CD=5,试求出 BE 的值?
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