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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x+x轴交于AB两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与直线AC交于点E

1)若点P为直线AC上方抛物线上的动点,连接PCPE,当PCE的面积SPCE最大时,点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q,此时点T从点Q开始出发,沿适当的路径运动至y轴上的点F处,再沿适当的路径运动至x轴上的点G处,最后沿适当的路径运动至直线AC上的点H处,求满足条件的点P的坐标及QF+FG+AH的最小值.

2)将BOC绕点B顺时针旋转120°,边BO所在直线与直线AC交于点M,将抛物线沿射线CA方向平移个单位后,顶点D的对应点为D′,点Ry轴上,点N在坐标平面内,当以点D′RMN为顶点的四边形是菱形时,请直接写出N点坐标.

【答案】(1)P(﹣),Q'H=;(2)N(﹣)或N(﹣)或N(﹣,﹣);

【解析】

(1)易求A(﹣3,0),B(1,0),C(0,),直线AC的直线解析式为y=x+,当△PCE的面积S△PCE最大时,当P点到直线AC的距离d最大即可求出点P坐标,进而可求点Q坐标,作点Q关于y轴的对称点Q',作AC关于x轴的对称AC',过点Q'作直线AC'的垂线交于点H,角y轴于点F,交x轴于点G,即可求QF+FG+AH的最小值;

(2)由平移可知抛物线向下移动个单位,向左平移1个单位,易求B'O的直线解析式为y=x﹣,从而可以知道点M的坐标,然后分类讨论:①当D'M是菱形RD'NM的对角线时,②当D'M∥RN时.

解:(1)在中令y=0,解得,∴A(﹣3,0),B(1,0),令x=0,解得,则C(0,),求得

∴直线AC的直线解析式为

过点P作PK∥y轴交AC于点K,设,其中,则

∴抛物线开口向下,

又∵且对称轴为直线

∴当时,S△PCE最大,

∵点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q,抛物线对称轴x=﹣1

作点Q关于y轴的对称点),作AC关于x轴的对称AC'

过点Q'作直线AC'的垂线交于点H,交y轴于点F,交x轴于点G,

∴Q'F=QF,

∵∠CAO=∠OAH=30°,

∴HG=AHtan30°=AH,

∴QF+FG+AH=Q'F+FG+HG=Q'H,

过Q'作Q'M⊥x轴,交x轴于点M,交AH于点N,

∴Q'M=

在Rt△AMN中,AM=

∴MN=

∴Q'N=

中,

∴∠HQ'N=∠OAH=30°,

∴Q'H=

(2)在Rt△OBC中,OC=,OB=1,

∴∠CBO=60°,

∵将△BOC绕点B顺时针旋转120°,

∴∠O'BC=60°,

∴O'(),

将抛物线沿射线CA方向平移个单位,

∴BB'=,BB'∥AC,

∴∠BB'K=30°,

过点B'⊥x轴,交x轴于点K,

在Rt△BB'K中,B'K=,BK=1,

∴抛物线向下移动个单位,向左平移1个单位,

∵D(﹣1,),

∴D'(﹣2,),

∴B'O的直线解析式为y=x﹣

M点坐标为方程组的解,

∴M(),

①当D'M是菱形RD'NM的对角线时,

D'M的中点为(﹣),

设R(0,n),N(﹣,m),

∴m=﹣

∴N(﹣,﹣);

②当D'M∥RN时,

设R(0,n),N(﹣,m),

∵D'M2=(2+(2=13,

∴D'N2=(2+(﹣n)2=13,

∴m=或m=

∴N(﹣)或N(﹣);

∴N(﹣)或N(﹣)或N(﹣,﹣);

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