【题目】已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点,并与四条边分别交于点E、F、G、H,且.
(1)如图①,连接BD,若BD是⊙O的直径,求证:∠A=∠C;
(2)如图②,若的度数为θ,∠A=α,∠C=β,请直接写出θ、α和β之间的数量关系.
【答案】(1)证明见解析;(2)α+β+θ =180°
【解析】
(1)根据圆周角定理及同弧所对的圆周角相等,得到∠EDF=∠HDG,然后利用外角的性质等量代换求证;
(2)利用外角性质及圆内接四边形对角互补求解.
(1) 连接DF、DG
∵BD是⊙O的直径
∴∠DFB=∠DGB =90°,
∵
∴∠EDF=∠HDG,
∵∠DFB=∠EDF+∠A
∠DGB=∠HDG+∠C,
∴∠A=∠C
(2)
连接DF,BH
∵
∴∠ADF=∠HBG=θ
又∵∠DFB=∠A+∠ADF,∠DHB=∠C+∠HBG
∴∠DFB+∠DHB=∠A+∠ADF+∠C+∠HBG
根据圆内接四边形对角互补,可得
∴α+β+θ =180°
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【题目】一个不透明的纸箱里有分别标有汉字“热”“爱”“祖”“国”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先摇匀再摸球.
(1)若从中任取一个球,求摸出球上的汉字刚好是“国”字的概率.
(2)小红从中任取球,不放回,再从中任取一球,请用树状图或列表法,求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“爱国”或“祖国”的概率.
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【题目】已知抛物线与轴交于点,对称轴为直线,与轴交点在和之间(包含这两个点)运动,有如下四个结论:
①抛物线与轴的另一个交点是;
②点,在抛物线上,且满足,则;
③常数项的取值范围是;
④系数的取值范围是.
上述结论中所有正确结论的序号是( )
A.①②③B.②③④C.①③D.①③④
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x+与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与直线AC交于点E.
(1)若点P为直线AC上方抛物线上的动点,连接PC,PE,当△PCE的面积S△PCE最大时,点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q,此时点T从点Q开始出发,沿适当的路径运动至y轴上的点F处,再沿适当的路径运动至x轴上的点G处,最后沿适当的路径运动至直线AC上的点H处,求满足条件的点P的坐标及QF+FG+AH的最小值.
(2)将△BOC绕点B顺时针旋转120°,边BO所在直线与直线AC交于点M,将抛物线沿射线CA方向平移个单位后,顶点D的对应点为D′,点R在y轴上,点N在坐标平面内,当以点D′,R,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出N点坐标.
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【题目】在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动,设两点移动的时间为t秒,解答下列问题:
(1)如图1,当t为几秒时,△PBQ的面积等于4cm2?
(2)如图2,以Q为圆心,PQ为半径作⊙Q.在运动过程中,是否存在这样的t值,使⊙Q正好与四边形DPQC的一边(或边所在的直线)相切?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①b=2a;②c﹣a=n;③抛物线另一个交点(m,0)在﹣2到﹣1之间;④当x<0时,ax2+(b+2)x<0;⑤一元二次方程ax2+(b﹣)x+c=0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标;
(2)x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是 ;
(3)若点M为抛物线上一动点,连接MA、MB,当点M运动到某一位置时,△ABM面积为△ABC的面积的倍,求此时点M的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点,,.
(1)画出绕点逆时针旋转后的图形,并写出点的坐标;
(2)将(1)中所得先向左平移4个单位,再向上平移2个单位得到,画出,并写出点的坐标;
(3)若可以看作绕某点旋转得来,直接写出旋转中心的坐标.
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【题目】如图,AD是△ABC的中线,tanB=,cosC=,AC=
(1)求BC的长;
(2)作出△ABC的外接圆(尺规作图,保留痕迹,不写作法),并求外接圆半径.
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