【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标;
(2)x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是 ;
(3)若点M为抛物线上一动点,连接MA、MB,当点M运动到某一位置时,△ABM面积为△ABC的面积的倍,求此时点M的坐标.
【答案】(1)(5,0);(2)0≤x≤1;(3)(3,﹣4)或(3+2,4)或(3﹣2,4)
【解析】
(1)根据已知条件将A点、C点代入抛物线即可求解;
(2)观察直线在抛物线上方的部分,根据抛物线与直线的交点坐标即可求解;
(3)先设动点M的坐标,再根据两个三角形的面积关系即可求解.
(1)因为直线y=﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A,C两点,
所以当x=0时,y=5,所以C(0,5)
当y=0时,x=1,所以A(1,0)
因为抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,
所以c=5,1+b+5=0,解得b=﹣6,
所以抛物线解析式为y=x2﹣6x+5.
当y=0时,0=x2﹣6x+5.解得x1=1,x2=5.
所以B点坐标为(5,0).
答:抛物线解析式为y=x2﹣6x+5,B点坐标为(5,0);
(2)观察图象可知:
x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是0≤x≤1.
故答案为0≤x≤1.
(3)设M(m,m2﹣6m+5)
因为S△ABM=S△ABC=×4×5=8.
所以×4|m2﹣6m+5|=8
所以|m2﹣6m+5|=±4.
所以m2﹣6m+9=0或m2﹣6m+1=0
解得m1=m2=3或m=3±2.
所以M点的坐标为(3,﹣4)或(3+2,4)或(3﹣2,4).
答:此时点M的坐标为(3,﹣4)或(3+2,4)或(3﹣2,4).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形,依此方式,绕点连续旋转2019次得到正方形,如果点的坐标为(1,0),那么点的坐标为________.
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【题目】如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.
(1)证明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,
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【题目】已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点,并与四条边分别交于点E、F、G、H,且.
(1)如图①,连接BD,若BD是⊙O的直径,求证:∠A=∠C;
(2)如图②,若的度数为θ,∠A=α,∠C=β,请直接写出θ、α和β之间的数量关系.
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【题目】某商场经营某种品牌的计算器,购进时的单价是20元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是600个,而销售单价每上涨1元,就会少售出10个.
(1)不妨设该种品牌计算器的销售单价为x元(x>30),请你分别用x的代数式来表示销售量y个和销售该品牌计算器获得利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价(元) | x(x>30) |
销售量y(个) |
|
销售计算器获得利润w(元) |
|
(2)在第(1)问的条件下,若计算器厂规定该品牌计算器销售单价不低于35元,且商场要完成不少于500个的销售任务,求:商场销售该品牌计算器获得最大利润是多少?
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【题目】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形花草园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为16米(如图所示),设这个花草园垂直于墙的一边长为x米.
(1)若花草园的面积为100平方米,求x;
(2)若平行于墙的一边长不小于10米,这个花草园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;
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【题目】已知:如图①,②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P,Q分别是边BC,CD上的点.
(1)如图①,若AP⊥PQ,BP=2,求CQ的长;
(2)如图②,若=2,且E,F,G分别为AP,PQ,PC的中点,求四边形EPGF的面积.
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【题目】已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线
y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标.
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【题目】如图,校园空地上有一面墙,长度为4米,为了创建“美丽校园”,学校决定借用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园,设长为米,矩形花园的面积为平方米.
(1)如图1,若所围成的矩形花园边的长不得超出这面墙,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)在(1)的条件下,当为何值时,矩形花园的面积最大,最大值是多少?
(3)如图2,若围成的矩形花园的边的长可超出这面墙,求围成的矩形的最大面积.
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