Question

17．如图，直线l₁的函数关系式为$y=\frac{1}{2}x+1$，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过定点A（4，0），B（-1，5），直线l₁与l₂相交于点C，
（1）求直线l₂的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l₂上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；
（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可直接求得l₂的函数解析式；
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）△ADF和△ADC的面积相等，则F的纵坐标与C的总坐标一定互为相反数，代入l₂的解析式即可求解；
（4）求得C关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．

解答 解：（1）设l₂的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{-k+b=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是：y=-x+4；
（2）在$y=\frac{1}{2}x+1$中令y=0，解得：x=-2，则D的坐标是（-2，0）．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
则C的坐标是（2，2）．
则S_△ADC=$\frac{1}{2}$×6×2=6；
（3）把y=-2代入y=-x+4，得-2=-x+4，
解得：x=6，
则F的坐标是（6，-2）；
（4）C（2，2）关于x轴的对称点是（2，-2），
则设经过（2，-2）和B的函数解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-2}\\{-m+n=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{7}{3}}\\{n=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
则直线的解析式是y=-$\frac{7}{3}$x+$\frac{8}{3}$．
令y=0，则-$\frac{7}{3}$x+$\frac{8}{3}$=0，解得：x=$\frac{8}{7}$．
则E的坐标是（$\frac{8}{7}$，0）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及对称的性质，正确确定E的位置是本题的关键．