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【题目】如图1,已知△ABC中,AB=10cmAC=8cmBC=6cm.如果点PB出发沿BA方向点A匀速运动,同时点QA出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:

1)当t为何值时,PQ∥BC

2)设△AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值.

3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

4)如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.

【答案】1s2)当t=s时,S取得最大值,最大值为cm23)不存在。理由见解析(4)存在,cm2

【解析】

解:∵AB=10cmAC=8cmBC=6cm

由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形,∠C为直角。

1BP=2t,则AP=10﹣2t

PQ∥BC,则,即,解得

s时,PQ∥BC

2)如图1所示,过P点作PD⊥AC于点D

PD∥BC∴△APD∽△ABC

,即,解得

∴S=×AQ×PD=×2t×

t=s时,S取得最大值,最大值为cm2

3)不存在。理由如下:

假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,

则有SAQP=SABC,而SABC=ACBC=24此时SAQP=12

由(2)可知,SAQP==12,化简得:t2﹣5t+10=0

∵△=﹣52﹣4×1×10=﹣150,此方程无解,

不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。

4)存在。

假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,

则有AQ=PQ=BP=2t

如图2所示,过P点作PD⊥AC于点D

则有PD∥BC

∴△APD∽△ABC

,即

解得:PD=AD=

∴QD=AD﹣AQ=

Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,即(2+2=2t2

化简得:13t2﹣90t+125=0,解得:t1=5t2=

∵t=5s时,AQ=10cmAC,不符合题意,舍去,∴t=

由(2)可知,SAQP=

∴S菱形AQPQ′=2SAQP=2×=2×[﹣×2+6×]=

存在时刻t=,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为cm2

1)由PQ∥BC时的比例线段关系,列一元一次方程求解。

2)如图1所示,过P点作PD⊥AC于点D,得△APD∽△ABC,由比例线段,求得PD,从而可以得到S的表达式,然后利用二次函数的极值求得S的最大值。

3)利用(2)中求得的△AQP的面积表达式,再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分,列出一元二次方程;由于此一元二次方程的判别式小于0,则可以得出结论:不存在这样的某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。

4)根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系,求得PQQDPD的长度;然后在Rt△PQD中,求得时间t的值;最后求菱形的面积,值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍,从而可以利用(2)中△AQP面积的表达式,这样可以化简计算。

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组别

分数段

频次

频率

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60x<70

17

0.17

B

70x<80

30

a

C

80x<90

b

0.45

D

90x<100

8

0.08

请根据所给信息,解答以下问题:

(1)表中a=___b=___

(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数;

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