Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，MN垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点M，O，N，连接BM，EN

(1)求证：四边形BMEN是菱形.

(2)若AE＝8，F为AB的中点，BF+OB＝8，求MN的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)MN＝.

【解析】

(1)先根据线段垂直平分线的性质证明MB＝ME，由ASA证明△BON≌△EOM，得出ME＝NB，证出四边形BMEN是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；

(2)根据已知条件得到AB+BE＝2BF+2OB＝16，设AB＝x，则BE＝16﹣x，根据勾股定理得到x＝6，求得BE＝16﹣x＝10，OB＝BE＝5，设ME＝y，则AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，根据勾股定理即可得到结论．

(1)证明：∵MN垂直平分BE，

∴MB＝ME，OB＝OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠MEO＝∠NBO，

在△BON与△EOM中，，

∴△BON≌△EOM(ASA)，

∴ME＝NB，

又∵AD∥BC，

∴四边形BMEN是平行四边形，

又∵MB＝ME，

∴四边形BMEN是菱形；

(2)解：∵O，F分别为MN，AB的中点，

∴OF∥AD，

∴∠OFB＝∠EAB＝90°，

∵BF+OB＝8，

∴AB+BE＝2BF+2OB＝16，

设AB＝x，则BE＝16﹣x，

在Rt△ABE中，82+x2＝(16﹣x)2，

解得x＝6，

∴BE＝16﹣x＝10，

∴OB＝BE＝5，

设ME＝y，则AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，

在Rt△ABM中，62+(8﹣y)2＝y2，

解得y＝，

在Rt△BOM中，MO＝＝，

∴MN＝2MO＝．