Question

10．已知：如图，正方形的顶点A在矩形DEFG的边EF上，矩形DEFG的顶点G在正方形的边BC上，正方形的边长为4，DG的长为6，则DE的长为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 首先根据矩形和正方形的性质可得，∠EDC=∠ADC=90°，∠E=∠C=90°，可判断△AED∽△GCD，然后根据相似三角形的性质得出$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CD}{DG}$，代入数据即可求出DE的长度．

解答 解：在正方形ABCD和矩形DEFG中，
∵∠EDC=∠ADC=90°，∠E=∠C=90°，
∴∠EAD+∠ADG=∠ADG+∠GCD=90°，
∴∠EAD=∠GCD，
∴△AED∽△GCD，
则有$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CD}{DG}$，
∵AD=CD=4，DG=6，
∴ED=$\frac{AD•CD}{DG}$=$\frac{4×4}{6}$=$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，涉及了正方形和矩形的性质，解答本题的关键是根据题意判定得出∠EAD=∠GCD，进而证明△AED∽△GCD．