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【题目】如图,正方形ABCD是一次函数yx+1图象的其中一个伴侣正方形.

1)若某函数是一次函数yx+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D2m)(m2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;

3)若某函数是二次函数yax2+ca≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCDCD中的一个点坐标为(34).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写出符合题意的其中一条抛物线解析式,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数?.(本小题只需直接写出答案)

【答案】1)正方形边长为;(2m1y;(3D坐标为(﹣13);yx2+ ;所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.

【解析】

此题较为新颖,特别要注意审题和分析题意,耐心把题读完,知AB为坐标轴上两点,CD为函数图象上的两点:(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长,注意思维的严密性.
2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D2m)的坐标表示出点C的坐标从而求解.
3)注意思维的严密性,抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(34)的左边,也可能在点(34)的右边,过点(34)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论.

1)∵正方形ABCD是一次函数yx+1图象的其中一个伴侣正方形.

当点Ax轴正半轴、点By轴负半轴上时,

AO1BO1

∴正方形ABCD的边长为

当点Ax轴负半轴、点By轴正半轴上时,设正方形ABCD的边长为a,得3a

a= ,所以正方形边长为

2)作DECF分别垂直于xy轴,

ADE≌△BAO≌△CBF,此时,m2DEOABFmOBCFAE2m

OFBF+OB2

C点坐标为(2m2

2m22m

解得m1

∴反比例函数的解析式为y

3)根据题意画出图形,如图所示:

CCFx轴,垂足为F,过DDECF,垂足为E

∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC

C34),即CF4OF3

EG3DE4,故DGDEGEDEOF431,则D坐标为(﹣13);设过DC的抛物线的解析式为:yax2+b

DC的坐标代入得:

解得

∴满足题意的抛物线的解析式为yx2+

同理可得D的坐标可以为:(7,﹣3);(﹣47);(41),对应的抛物线分别为y=x2+y=x2+y=x2+,所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.

练习册系列答案
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【题目】小明在某次作业中得到如下结果:

sin2sin283°≈0.1220.9920.9945

sin222°sin268°≈0.3720.9321.0018

sin229°sin261°≈0.4820.8720.9873

sin237°sin253°≈0.6020.8021.0000

sin245°sin245°1.

据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2αsin2(90°α)1.

(1)α30°时,验证sin2αsin2(90°α)1是否成立;

(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.

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【题目】如图,一只猫头鹰蹲在一棵树ACB(点BAC上)处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠,它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米,短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°,老鼠躲藏处M(点MDE上)距D点3米.(参考数据:sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75

(1)猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠?为什么?

(2)要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)?

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【题目】如图,∠C90°,点AB在∠C的两边上,CA30CB20,连接AB.点P从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动,到点C停止.当点PBC两点不重合时,作PDBCAB于点D,作DEAC于点EF为射线CB上一点,使得∠CEF=∠ABC.设点P运动的时间为x秒.

1)用含有x的代数式表示CE的长.

2)求点F与点B重合时x的值.

3)当点F在线段CB上时,设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y(平方单位).求yx之间的函数关系式.

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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于点A(﹣10)和点B30),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点ED是抛物线的顶点.

1)求此抛物线的解析式;

2)直接写出点C和点D的坐标;

3)若点P在第一象限内的抛物线上,且SABP4SCOE,求P点坐标.注:二次函数yax2+bx+ca≠0)的顶点坐标为.

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【题目】已知ABC是边长为4的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA6,点D是射线OM上的动点,当点D不与点A重合时,将ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到BCE,连接DE

1)如图1,求证:CDE是等边三角形.

2)设ODt

①当6t10时,BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出BDE周长的最小值;若不存在,请说明理由.

②求t为何值时,DEB是直角三角形(直接写出结果即可).

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【题目】为了解同学们的身体发育情况,学校体卫办公室对七年级全体学生进行了身高测量(精确到1cm),并从中抽取了部分数据进行统计,请根据尚未完成的频数分布表和频数分布直方图解答下列问题:

频率分布表

分组

频数

百分比

144.5149.5

2

4%

149.5154.5

3

6%

154.5159.5

a

16%

159.5164.5

17

34%

164.5169.5

b

n%

169.5174.5

5

10%

174.5179.5

3

6%

1)求abn的值;

2)补全频数分布直方图;

3)学校准备从七年级学生中选拔护旗手,要求身高不低于170cm,如果七年级有学生350人,护旗手的候选人大概有多少?

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(2)如果该飞机不改变航向继续航行,那么飞机能否降落在跑道MN之间?请说明理由.

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