【题目】如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.
(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;
(2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;
(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写出符合题意的其中一条抛物线解析式,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数?.(本小题只需直接写出答案)
【答案】(1)正方形边长为;(2)m=1,y=;(3)D坐标为(﹣1,3);y=x2+ ;所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.
【解析】
此题较为新颖,特别要注意审题和分析题意,耐心把题读完,知A、B为坐标轴上两点,C、D为函数图象上的两点:(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长,注意思维的严密性.
(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标从而求解.
(3)注意思维的严密性,抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论.
(1)∵正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.
当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时,
∴AO=1,BO=1,
∴正方形ABCD的边长为
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,设正方形ABCD的边长为a,得3a=
∴a= ,所以正方形边长为 ;
(2)作DE、CF分别垂直于x、y轴,
知△ADE≌△BAO≌△CBF,此时,m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2﹣m
∴OF=BF+OB=2
∴C点坐标为(2﹣m,2)
∴2m=2(2﹣m)
解得m=1,
∴反比例函数的解析式为y= ;
(3)根据题意画出图形,如图所示:
过C作CF⊥x轴,垂足为F,过D作DE⊥CF,垂足为E,
∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC,
∵C(3,4),即CF=4,OF=3,
∴EG=3,DE=4,故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1,则D坐标为(﹣1,3);设过D与C的抛物线的解析式为:y=ax2+b,
把D和C的坐标代入得: ,
解得 ,
∴满足题意的抛物线的解析式为y=x2+;
同理可得D的坐标可以为:(7,﹣3);(﹣4,7);(4,1),对应的抛物线分别为y=x2+;y=x2+;y=x2+,所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.
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【题目】小明在某次作业中得到如下结果:
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,
sin245°+sin245°=+=1.
据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.
(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;
(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
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【题目】如图,一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在AC上)处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠,它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米,短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°,老鼠躲藏处M(点M在DE上)距D点3米.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
(1)猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠?为什么?
(2)要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)?
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【题目】如图,∠C=90°,点A、B在∠C的两边上,CA=30,CB=20,连接AB.点P从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动,到点C停止.当点P与B、C两点不重合时,作PD⊥BC交AB于点D,作DE⊥AC于点E.F为射线CB上一点,使得∠CEF=∠ABC.设点P运动的时间为x秒.
(1)用含有x的代数式表示CE的长.
(2)求点F与点B重合时x的值.
(3)当点F在线段CB上时,设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y(平方单位).求y与x之间的函数关系式.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)直接写出点C和点D的坐标;
(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标.注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为.
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【题目】已知△ABC是边长为4的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6,点D是射线OM上的动点,当点D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE.
(1)如图1,求证:△CDE是等边三角形.
(2)设OD=t,
①当6<t<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE周长的最小值;若不存在,请说明理由.
②求t为何值时,△DEB是直角三角形(直接写出结果即可).
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【题目】为了解同学们的身体发育情况,学校体卫办公室对七年级全体学生进行了身高测量(精确到1cm),并从中抽取了部分数据进行统计,请根据尚未完成的频数分布表和频数分布直方图解答下列问题:
频率分布表
分组 | 频数 | 百分比 |
144.5~149.5 | 2 | 4% |
149.5~154.5 | 3 | 6% |
154.5~159.5 | a | 16% |
159.5~164.5 | 17 | 34% |
164.5~169.5 | b | n% |
169.5~174.5 | 5 | 10% |
174.5~179.5 | 3 | 6% |
(1)求a、b、n的值;
(2)补全频数分布直方图;
(3)学校准备从七年级学生中选拔护旗手,要求身高不低于170cm,如果七年级有学生350人,护旗手的候选人大概有多少?
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【题目】如图,在正方形网格图中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,请在网格中进行下列操作:
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置,D点坐标为 ;
(2)连接AD、CD,求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数;
(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的底面半径.
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【题目】在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1 km的飞机跑道MN(如图),在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°,且与点A相距15千米的B处;经过1分钟,又测得该飞机位于点A的北偏东60°,且与点A相距5千米的C处.
(1)该飞机航行的速度是多少千米/小时?(结果保留根号)
(2)如果该飞机不改变航向继续航行,那么飞机能否降落在跑道MN之间?请说明理由.
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