Question

如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CF的长．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：首先根据切线的性质定理求出AF的长；然后借助余弦定理求出∠A的余弦值；再次利用余弦定理求出线段CF的长度问题即可解决．

解答：解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AE=AF（设为x），BD=BF（设为y），CD=CE（设为z），
又∵AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，
∴

x+y=13① y+z=14② x+z=9③

，
由①+②+③得：2（x+y+z）=36，
∴x+y+z=18④，
由④-①得z=5；由④-②得x=4；由④-③得y=9；
∴AF=4，AC=9；
∵cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

132+92-142

2×13×9

=

3

13

；
∴CF=

AF2+AC2-2AF•AC•cosA

=

42+92-2×4×9× 3 13

=

16+81- 216 13

=

1045 13

=

13585

13

．

点评：该命题主要考查了三角形的内切圆及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用切线的性质求出有关线段长；借助余弦定理分析、判断、求解或证明．