如图.在平面直角坐标系xOy中.矩形AOBC的AO边在y轴上.BO边在x轴上.C点坐标为.反比例函数y=kx的图象交AC.BC分别为E.F．(1)当点F在BC三等分点上时.求k的值,(2)将△ECF沿EF翻折.点C恰好落在y轴上.记为点M.问tan∠EFM的值是否为定值?若是.求出该定值,若不是.请用k表示,(3)连接OC.作OD⊥OC.并使OC:OD=2:1.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOBC的AO边在y轴上，BO边在x轴上，C点坐标为（-2，3），反比例函数y=

（k＜0，x＜0）的图象交AC、BC分别为E、F．
（1）当点F在BC三等分点上时，求k的值；
（2）将△ECF沿EF翻折，点C恰好落在y轴上，记为点M，问tan∠EFM的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用k表示；
（3）连接OC，作OD⊥OC，并使OC：OD=

：1，求过D点的反比例函数解析式．

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据点C的纵坐标和已知条件求得点F的坐标；然后把点F的坐标代入函数解析式来求系数k的值；
（2）根据折叠的性质得到tan∠EFM=tan∠EFC=

，由反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质求得相关线段的长度，将其代入比例式即可求得答案；
（3）根据点C的坐标可以求得直线OC的关系式，则易求直线OD的解析式，然后利用直线与双曲线的交点来求该双曲线的解析式．

解答：

解：（1）如图，∵矩形AOBC的AO边在y轴上，BO边在x轴上，C点坐标为（-2，3），
∴BC=3．
又∵点F在BC三等分点上，
∴F（-2，1）．
∵点F在反比例函数y=

（k＜0，x＜0）上，
∴k=xy=（-2）×1=-2．
即k的值是-2；

（2）不是定值．理由如下：
如图，∵在矩形AOBC中，C点坐标为（-2，3），点E、F在反比例函数y=

（k＜0，x＜0）的图象上，
∴设E（

，3），F（-2，-

）．
∴CE=2+

，CF=3+

．
由折叠的性质知，Rt△EFM≌△Rt△EFC，则∠EFM=∠EFC．
∴tan∠EFM=tan∠EFC=

12+2k

18+3k

．

（3）设D（s，t）．
∵C点坐标为（-2，3），
∴直线OC的解析式为：y=-

x．
又∵OD⊥OC，
∴直线OD的解析式为：y=

x．
设过点D的反比例函数关系式为y=

（a是常数，且a≠0）．
∴OC=

(-2)2+32

=5．
又∵OC：OD=

：1，
∴OD=

．
则

s2+t2=

，
解得 a=3，
则该反比例函数解析式为：y=

．

点评：本题综合考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质以及翻折旋转的性质．解答（3）题时，也利用利用相似三角形的判定与性质来求点D的坐标，然后利用待定系数法来求经过点D的反比例函数的解析式．

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