Question

12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2$\sqrt{3}$，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
（1）OB=$4\sqrt{3}$；
（2）直线AC与直线DB的交点坐标是（$4\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 （1）由正六边形的性质和外角关系得出△AOF是等边三角形，则AO=FO=FA=2$\sqrt{3}$，即可得出结果；
（2）延长DC、AB相交于点M，作CN⊥BM于N，则CN∥DB，同（1）得：△BCM是等边三角形，得出BM=BC=CM=2$\sqrt{3}$，求出CN、AN，再由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BG，即可得出结果．

解答 解：（1）∵在正六边形ABCDEF中，∠EFA=∠BAF=120°，
∴∠OFA=∠OAF=60°，
∴∠AOF=60°，
∴△AOF是等边三角形，
则AO=FO=FA=2$\sqrt{3}$，
∴OB=OA+AB=4$\sqrt{3}$；
故答案为：4$\sqrt{3}$；
（2）如图所示：延长DC、AB相交于点M，作CN⊥BM于N，
则CN∥DB，
同（1）得：△BCM是等边三角形，
∴BM=BC=CM=2$\sqrt{3}$，∠BMC=60°，
∴CM=CD，
∵CN⊥BM，
∴BN=MN=$\frac{1}{2}$BM=$\sqrt{3}$，
∴CN=$\sqrt{3}$MN=3，AN=3$\sqrt{3}$，
∵CN∥DB，
∴BG：CN=AB：AN=2：3，
∴BG=2，
∴直线AC与直线DB的交点G的坐标为（4$\sqrt{3}$，2）．
故答案为：4$\sqrt{3}$，2．

点评 此题主要考查了正多边形和圆、坐标与图形性质、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；本题综合性强，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．