Question

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AC中点，则：
（1）sin∠DBC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）tan∠DBA=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先由D是AC中点，AC=4，得出CD=$\frac{1}{2}$AC=2，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，再根据三角函数定义即可求出sin∠DBC的值；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，先由△ABC是等腰直角三角形，得出∠A=∠ABC=45°，AB=4$\sqrt{2}$．再证明△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，于是BE=AB-AE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，然后在Rt△BDE中，根据三角函数定义即可求出tan∠DBA的值．

解答 解：（1）∵D是AC中点，AC=4，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=4，CD=2，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠DBC=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；

（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，
∴∠A=∠ABC=45°，AB=4$\sqrt{2}$．
∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠A=45°，AD=2，
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，
∴BE=AB-AE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
在Rt△BDE中，tan∠DBA=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，难度适中．准确作出辅助线构造直角三角形是解决（2）小题的关键．