Question

如图①所示，已知A、B为直线a上两点，点C为直线a上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD₁┴a于点D₁ ，过点E作EE₁┴a于点E₁。

 

       

图①                      图②                        图③

⑴如图②，当点E恰好在直线a上时，（此时E₁和E重合）。试说明DD₁=AB；

⑵如图①中，当D、E两点都在直线a的上方时，试探求三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系，并说明理由。

⑶如图③，当点E在直线a的下方时，请直接写出三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系。（不需要证明）

Answer 1

（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，           （1分）

∴∠DAD1+∠CAB=90°，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠ABC=90°，                   
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∴∠ADD1=∠CAB，                       
在△ADD1和△CAB中，
，
∴△ADD1≌△CAB（AAS），        （3分）
∴DD1=AB；                         （4分）
（2）AB=DD1+EE1．        （5分）
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
，
∴△ADD1≌△CAH（AAS），         （7分）
∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，                  （8分）
∴AB=AH+BH=DD1+EE1；          （9分）

（3）AB=DD1-EE1．（10分）