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【题目】在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=8cm,如图①,点E,H从点A开始向B,D运动,同时点F,G从点CB,D运动,运动速度都为1cm/秒,运动时间为t秒(0≤t<8.

1)当运动时间t=4时,求证:四边形EFGH为矩形;

2)当t等于多少秒时,四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的

3)如图②,连接HF,BG,当t等于多少秒时,HFBG.

【答案】(1)见解析;(2) t=;(3)t=4.

【解析】

1)根据t=4时,EFGH分别是ABBCCDAD的中点,可证四边形EFGH为矩形;

2)先证明四边形EFGH为矩形,然后根据∠ADB=60°求出HG=,由四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的列方程求解即可;

3)延长GF,过点BBMFG交点M,由(2)可知,FG=t HG=,证明,根据相似三角形的对应边成比例列出比例式,在含30°的直角三角形BMF中求出BMFM,代入比例式即可求出t.

解:(1)连接ACBD,如图:

t=4时,AE=AH=CF=CG=4

在菱形ABCD,AB=BC=CD=AD=8ACBD

EFGH分别是ABBCCDAD的中点

EHBD,FGBD,EFAC,HGAC

EHFG,EFHG EHBD,FGBD

四边形EFGH为平行四边形

EHBD,EFACACBD

EHRF

四边形EFGH为矩形;

2)由(1)中图可知AE=AH=CF=CG=t,则BE=DH=BF=DG=8-t

在菱形ABCD,AB=BC=CD=AD=8ACBD,∠A=60°

EH=t,∠ADB=60°

,∠A=A

EHBD

同理可得:FGBDEFAC,HGAC

EHFG,EFHG

EHBD,FGBD

四边形EFGH为平行四边形

EHBD,EFACACBD

EHEF,

四边形EFGH为矩形,

ADB=60°,BDHG

HG=

四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的

=··8·

解得 t=

t=时,四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的

3)延长GF,过点BBMFG交点M

由(2)可知,FG=tBF=8-tHG=,四边形EFGH为矩形,HFBG

FHG+HFG=90°,FGB+HFG=90° FHG=FGB

又∠FGH=FMB

化简得

解得t=4t=24(舍去)

t=4时,HFBG.

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