【题目】在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=8cm,如图①,点E,H从点A开始向B,D运动,同时点F,G从点C向B,D运动,运动速度都为1cm/秒,运动时间为t秒(0≤t<8).
(1)当运动时间t=4时,求证:四边形EFGH为矩形;
(2)当t等于多少秒时,四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的;
(3)如图②,连接HF,BG,当t等于多少秒时,HF⊥BG.
【答案】(1)见解析;(2) t=;(3)t=4.
【解析】
(1)根据t=4时,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,可证四边形EFGH为矩形;
(2)先证明四边形EFGH为矩形,然后根据∠ADB=60°求出HG=,由四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的列方程求解即可;
(3)延长GF,过点B作BM⊥FG交点M,由(2)可知,FG=t, HG=,证明∽,根据相似三角形的对应边成比例列出比例式,在含30°的直角三角形BMF中求出BM、FM,代入比例式即可求出t值.
解:(1)连接AC、BD,如图:
当t=4时,AE=AH=CF=CG=4
在菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD=8,AC⊥BD
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点
EH∥BD,FG∥BD,EF∥AC,HG∥AC
EH∥FG,EF∥HG EH∥BD,FG∥BD
四边形EFGH为平行四边形
EH∥BD,EF∥AC,AC⊥BD
EH⊥RF
四边形EFGH为矩形;
(2)由(1)中图可知AE=AH=CF=CG=t,则BE=DH=BF=DG=8-t
在菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD=8,AC⊥BD,∠A=60°,
EH=t,∠ADB=60°,
,∠A=∠A ,
EH∥BD
同理可得:FG∥BD,EF∥AC,HG∥AC,
EH∥FG,EF∥HG,
EH∥BD,FG∥BD
四边形EFGH为平行四边形
EH∥BD,EF∥AC,AC⊥BD,
EH⊥EF,
四边形EFGH为矩形,
∠ADB=60°,BD⊥HG,
HG=
四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的,
t·=··8·
解得 t=,
当t=时,四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的;
(3)延长GF,过点B作BM⊥FG交点M,
由(2)可知,FG=t,BF=8-t,HG=,四边形EFGH为矩形,HF⊥BG
∠FHG+∠HFG=90°,∠FGB+∠HFG=90° ∠FHG=∠FGB
又∠FGH=∠FMB,
∽
,
化简得
解得t=4或t=24(舍去)
当t=4时,HF⊥BG.
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【题目】甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元,已知乙公司比甲公司人均多捐40元,甲公司的人数比乙公司的人数多20%.
请你根据以上信息,提出一个用分式方程解决的问题,并写出解答过程.
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【题目】《如果想毁掉一个孩子,就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章.国际上,法国教育部宣布从 2018 年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机.为了解学生手机使用情况,某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动,他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查,并绘制成如图①,②的 统计图,已知“查资料”的人数是 40人.请你根据以上信息解答下列问题:
(1)在扇形统计图中,“玩游戏”对应的百分比为______,圆心角度数是______度;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有学生2100人,估计每周使用手机时间在2 小时以上(不含2小时)的人数.
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【题目】元旦节前夕,某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花,销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大,店主决定将玫瑰每枝降价2元促销,降价后80元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25倍.
(1)试问:降价后每枝玫瑰的售价是多少元?
(2)根据销售情况,店主用不多于1000元的资金再次购进两种鲜花共180枝,康乃馨进价为6元/枝,玫瑰的进价是5元/枝。试问;至少需要购进多少枝玫瑰?
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,分析下列四个结论:①abc<0;②b2-4ac>0;③a+b+c>0;④a-b+c>0.其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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【题目】任大叔决定在承包的荒山上种樱桃树,第一次用1000元购进了一批树苗,第二次又用1000元购进该种树苗,但这次每棵树苗的进价是第一次进价的2倍,购进数量比第次少了100棵;
(1)求第一次每棵树苗的进价是多少元?
(2)一年后,树苗的成活率为85%,每棵樱桃树平均产樱桃30斤,任大叔将两批樱桃树所产樱桃按同一价格全部销售完毕后,获利不低于89800元,求每斤樱桃的售价至少是多少元?
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AD为⊙O的直径,AD与BC相交于点E,且BE=CE.
(1)请判断AD与BC的位置关系,并说明理由;
(2)若BC=6,ED=2,求AE的长.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,3),B(﹣3,n)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,连接AC,求△ABC的面积.
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【题目】如图,一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上,边AC与EF重合,AC=12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时,点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时,点D运动的路径长为__cm;连接BD,则△ABD的面积最大值为___cm2.
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