Question

5．已知抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2mx-4m-2$（m≥0）与x轴交于A、B两点，A点在B点的左边．与y轴交于点C．
（1）当AB=6时，求点C的坐标；
（2）抛物线上有两点M（-1，a）、N（4，b），若△AMN的面积为17.5，求m的值；
（3）在抛物线第一象限上有一点G，连接AG、GB并延长分别交y轴于F、E．若∠AFO=∠EBO，求证：点G总在一条定直线上．

Answer 1

分析 （1）对于抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2mx-4m-2$，令y=0得x²+4mx-8m-4=0，可得（x+4m+2）（x-2）=0，推出x=2或-4m-2，推出A（-4m-2，0），B（2，0），由AB=6，可得2-（-4m-2）=6，解方程即可解决问题．
（2）如图1中，作MK∥AB，AK⊥MK于K，NG⊥KM于G，由题意M（-1，-6m-$\frac{3}{2}$），N（4，4m+6），A（-4m-2）．由S_梯形AKGN-S_△AKM-S_△MNG=17.5，列出方程即可解决问题．
（3）如图2中，设G（n，$\frac{1}{2}$n²+2mn-4m-2），求出直线EG、AG的解析式可得E、F两点的坐标，由△AOF∽△EOB，可得OA•OB=OF•OE，由此列出方程，化简整理，可得点G的纵坐标为2，由此即可解决问题．

解答 （1）解：对于抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2mx-4m-2$，令y=0得x²+4mx-8m-4=0，
∴（x+4m+2）（x-2）=0，
∴x=2或-4m-2，
∴A（-4m-2，0），B（2，0），
∵AB=6，
∴2-（-4m-2）=6，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴点C坐标为（0，-4）．

（2）解：如图1中，作MK∥AB，AK⊥MK于K，NG⊥KM于G，由题意M（-1，-6m-$\frac{3}{2}$），N（4，4m+6），A（-4m-2）．

∵S_△AMN=17.5，
∴S_梯形AKGN-S_△AKM-S_△MNG=17.5，
∴$\frac{6m+\frac{3}{2}+6m+\frac{3}{2}+4m+6}{2}$•（4+4m+2）-$\frac{1}{2}$•（-1+4m+2）•（6m+$\frac{3}{2}$）-$\frac{1}{2}$•5•（6m+$\frac{3}{2}$+4m+6）=17.5，
整理得4m²+7m-2=0，
解得m=$\frac{1}{4}$或-2，
∵m＞0，
∴m=$\frac{1}{4}$．

（3）证明：如图2中，设G（n，$\frac{1}{2}$n²+2mn-4m-2），

∵A（-4m-2，0），B（2，0），
设直线EG的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{nk+b=\frac{1}{2}{n}^{2}+2mn-4m-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\frac{1}{2}{n}^{2}+2mn-4m-2}{n-2}}\\{b=\frac{{n}^{2}+4mn-8m-4}{2-n}}\end{array}\right.$，
∴直线EG的解析式为y=[$\frac{{n}^{2}+4mn-8m-4}{2（n-2）}$]x+$\frac{{n}^{2}+4mn-8m-4}{2-n}$，
∴E（0，$\frac{{n}^{2}+4mn-8m-4}{2-n}$），
同理可得直线AG的解析式为y=[$\frac{{n}^{2}+4mn-8m-4}{2（n+4m+2）}$]x+$\frac{（4m+2）（{n}^{2}+4mn-8m-4）}{2（n+4m+2）}$，
∴F（0，$\frac{（4m+2）（{n}^{2}+4mn-8m-4）}{2（n+4m+2）}$），
∵∠AFO=∠EBO，∠AOF=∠BOE，
∴△AOF∽△EOB，
∴OA•OB=OF•OE，
∴2（4m+2）=$\frac{1}{2}$•$\frac{（4m+2）（{n}^{2}+4mn-8m-4）^{2}}{（n-2）（n+4m+2）}$，
∵n²+4mn-8m-4=n²+4mn+4m²-4m²-8m-4=（n+2m）²-（2m+2）²=（n+2m+2m+2）（n+2m-2m-2）=（n+4m+2）（n-2），
∴2（4m+2）=$\frac{1}{2}$•$\frac{（4m+2）（n+4m+2）^{2}（n-2）^{2}}{（n+4m+2）（n-2）}$，
∵m＞0，整理得（n+4m+2）（n-2）=4，
∴$\frac{1}{2}$n²+2mn-4m-2=2，
∴点G的坐标为（n，2），
∴点G在定直线y=2上．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求 三角形面积，学会利用参数，构建方程解决问题，本题的化简技巧要求比较高，属于中考压轴题．