Question

1．如图，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OA和OD．
（1）已知：∠BOC=150°．求证：△COD是等边三角形；△AOD是直角三角形．
（2）若∠AOB=110°，则∠BOC=125或110或140度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．

解答 解：（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形．
当α=150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
（2）设∠BOC=α，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，
∠OAD=$\frac{18{0}^{°}-（α-6{0}^{°}）}{2}$=120°-$\frac{α}{2}$，
∴190°-α=120°-$\frac{α}{2}$，
解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
故答案为：125或110或140．

点评 本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．