【题目】如图，等边
的边长为
，点
、
分别是边
、
上的动点，点、分别从顶点
、
同时出发，且它们的速度都为
．
（1）如图1，连接
，求经过多少秒后，
是直角三角形；
（2）如图2，连接
、
交于点
，在点、运动的过程中，
的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
（3）如图3，若点、运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交于点，则的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】（1）经过
秒或
秒后，△PCQ是直角三角形；（2）
的大小不变，是定值60°；（3）的大小不变，是定值120°．
【解析】
（1）分∠PQC＝90°和∠QPC＝90°两种情形求解即可解决问题；
（2）证得△ABP≌△BCQ（SAS），推出∠BAP＝∠CBQ，得
（定值）即可；
（3）证得△ACP≌△BAQ（SAS），推出
，得
即可．
解：（1）设经过t秒后，△PCQ是直角三角形．
由题意：
，
，
∵
是等边三角形，
∴
，
当∠PQC＝90°时，∠QPC＝30°，
∴PC＝2CQ，
∴
，
解得
．
当∠QPC＝90°时，∠PQC＝30°，
∴CQ＝2PC，
∴
，
解得
，
综上：经过秒或秒后，△PCQ是直角三角形．
（2）结论：∠AMQ的大小不变．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
，
∵点P，Q的速度相等，
∴BP＝CQ，
在△ABP和△BCQ中
∴△ABP≌△BCQ（SAS）
∴
∴
（定值）
∴的大小不变，是定值60°．
（3）结论：∠AMQ的大小不变．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
，
∴
,
∵点P，Q的速度相等，
∴
，
在△ACP和△BAQ中
∴△ACP≌△BAQ（SAS）
∴
∴
（定值）
∴的大小不变，是定值120°．
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【题目】（1）问题：如图
在
中，
，
，
为
边上一点（不与点
，
重合），连接
，过点
作
，并满足
，连接
．则线段
和线段的数量关系是_______，位置关系是_______．
（2）探索：如图
，当点为边上一点（不与点，重合），与
均为等腰直角三角形，
，，
．试探索线段
，
，
之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图
，在四边形
中，
，若
，
，请直接写出线段的长．
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【题目】某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）．如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．
甲 | 乙 | 丙 | |
每辆汽车能装的数量（吨） | 4 | 2 | 3 |
每吨水果可获利润（千元） | 5 | 7 | 4 |
（1）用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？
（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用m表示）
（3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？
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【题目】“圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE = 1寸，AB = 1尺，求直径的长”. 依题意，CD长为（ ）
A. 
寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸
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【题目】阅读下列材料：
问题：如图（a）所示，已知点
为等边
内一点，且
，试探究线段
、
、
之间的数量关系．
明明同学的想法是：问题中的线段比较分散，可以通过旋转变换将分散的线段集中在一起，从而解决问题．于是他将
绕点
顺时针旋转60°，得到了
，然后连接
．
请你参考明明同学的思路，解决下列问题：
（1）图（b）中的、、之间的数量关系为______．
（2）如图（c）所示，点在等边的外部（在直线
左侧），满足
，（1）中的结论仍成立吗？说明你的理由．
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【题目】在等边
中，点
在
边上，点
在
的延长线上，
（如图1）
（1）求证：
；
（2）点关于直线的对称点为
，连接
，
．
①依题意将图2补全；
②证明：在点运动的过程中，始终有
．
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【题目】如图所示，把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，如果折叠后得等腰△EBA，那么结论中：①∠A=30°；②点C与AB的中点重合；③点E到AB的距离等于CE的长，正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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