Question

【题目】（1）问题：如图在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_______，位置关系是_______．

（2）探索：如图，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）拓展：如图，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】（1）=；⊥；（2）+=；（3）2

【解析】

（1）根据同角的余角相等得出∠BAD=∠CAE，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质即可得出结果；

（2）连结CE，同（1）的方法证得△ADB≌△AEC，根据全等三角形的性质转换角度，可得△DCE为直角三角形，即可得，，之间满足的等量关系；

（3）在AD上方作EA⊥AD，连结DE，同（2）的方法证得△DCE为直角三角形，由已知和勾股定理求得DE的长，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求得AD的长．

解：=，⊥，理由如下：

∵，，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵，

∴，

∴，即，

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，

∴∠ACB+∠ACE=90°，即⊥，

故答案为：=；⊥．

（2）+=，证明如下：

如图，连结CE，

∵与均为等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=45°，，即，

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，

∴∠ACB+∠ACE=90°，即⊥，则△DCE为直角三角形，

∴+=，

∴+=；

（3）如图，作EA⊥AD，使得AE=AD，连结DE、CE，

∵，

∴，AB=AC，

∵，AE=AD，

∴，，

∴，即，

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE，

∵，则△DCE为直角三角形，

∵，，

∴，则，

在Rt△ADE中，AD=AE，

∴，

则．