Question

【题目】等边△ABC的边BC在射线BD上,动点P在等边△ABC的BC边上（点P与BC不重合）,连接AP.

（1）如图1，当点P是BC的中点时，过点P作于E,并延长PE至N点，使得.①若,试求出AP的长度;

②连接CN,求证.

（2）如图2，若点M是△ABC的外角的角平分线上的一点，且,求证:.

Answer 1

【答案】（1）①AP；②证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）①根据点P是BC的中点，利用等腰三角形三线合一的性质得AP⊥BC，再利用勾股定理即可求得答案；

②根据轴对称的性质，证得∠NCE=∠PCE=，从而证得结论；

（2）作∠CBF=60°，BF与MC的延长线相交于点F，连接PF，证明△BFC是等边三角形，证得△ABP△FBP，PM=PF，∠PMC=∠PFC，根据三角形外角的性质可得结论．

（1）①在等边△ABC中，

∵点P是BC的中点，，

∴AP⊥BC，，

∴AP=；

②∵且，

∴点N与点P关于直线AC对称，

∴∠NCE=∠PCE=，

∴∠NCD=180∠NCE∠PCE=，

∴∠NCD=∠B=，

∴；

（2）作∠CBF=60°，BF与MC的延长线相交于点F，连接PF，如图：

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60，
∴∠ACD=120，
∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM=∠BCF=60，
∵∠CBF=60，
∴∠FBC=∠BCF=∠BFC=60，
∴△BFC是等边三角形，

∵△ABC和△BFC都是等边三角形，
∴AB=BC=BF，
在△ABP和△FBP中，，

∴△ABP△FBP，

∴AP=PF，∠BAP=∠BFP，
∵AP=PM，
∴PM=PF，
∴∠PMC=∠PFC，

∵∠MCD=∠PMC +∠CPM=60，
∠BFC=∠BFP+∠PFC=60，
∴∠CPM=∠BFP =∠BAP，
∵∠APC=∠ABC+∠BAP=∠APM+∠CPM，
∴∠APM=60．