Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，动点D从点A出发以每秒3个单位的速度运动至点B，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E．设点D的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）线段AE的长为 ． （用含t的代数式表示）
（2）若△ADE与△ACB的面积比为1：4时，求t的值．
（3）设△ADE与△ACB重叠部分图形的周长为L，求L与t之间的函数关系式．
（4）当直线DE把△ACB分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）5t
（2）

解：方法一：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∴ ．

∵AD=3t，AC=3，BC=4，

∴DE=4t．

∴ ．

∵ ，

∵ ，

∴ ．

∴ （舍）

∴t的值为 ．

方法二：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．

∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∵ ，

∴ ．

∵AC=3，AD=3t，

∴2×3t=3，t=

（3）

解：由（2）得：△ABC∽△AED，

∴ ．

∵AD=3t，

∴DE=4t，AE=5t．BD=5﹣3t，

∴当 时，L=3t+4t+5t=12t．

∴L=12t．

当 时，如图，

∵∠B=∠B，∠BDF=∠BCA，

∴△ABC∽△FBD，

∴ ．

∵BD=5﹣3t，

∴ ．

∵∠BFD=∠EFC，∠BDF=∠ECF，

∴∠B=∠E，

∵∠FCE=∠BCA

∴△BCA∽△ECF，

∴ ．

∵CE=5t﹣3，

∴ ．

．

∴

（4）

解：由（1）知，AE=5t，DE=4t，

∴CE=3﹣5t，

当DE=CE时，四边形BCED是轴对称图形，

∴4t=3﹣5t，

∴t= ，

当DE和BC相交于F，AD=AC时，四边形ACFE是轴对称图形，

∵AD=3t，AC=3，

∴3t=3，

∴t=1．

即：满足条件的时间t为 或1

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，tanA= =
由题意得，AD=3t，
在Rt△ADE中，tanA= = = ，
根据勾股定理得，AE=5t．
所以答案是5t；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和相似三角形的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．