Question

10．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∠ABD=30°，若$CD=2\sqrt{6}$，则阴影部分图形的面积为π．

Answer 1

分析 由圆周角定理知∠AOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OA、OE的长度，根据垂径定理求得AE=BE，最后将相关线段的长度代入S_阴影=S_扇形OAD-S_△AOE+S_△BED．

解答 解：如图，假设线段CD、AB交于点E，

∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE=BE，OA=OD=$\sqrt{6}$，
又∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ADB=60°，∠OAE=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{6}$，AE=AO•cos60°=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，DE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOE+S_△BED=$\frac{60π×6}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$=π．
故答案为：π．

点评 本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．