Question

12．如图1，B（-1，0），D（0，2），经过点C（3，0）的直线EC交直线BD于A，交y轴于E，使AD=AE
（1）求证：AB=AC
（2）如图2，△ABC沿x轴方向平行移动时，AB交y轴于D，直线DF交AC延长线于F，交x轴于G且BD=CF，求证：OG长度不变．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠ADE，由于∠ECO+∠AED=90°，∠DBO+∠BDO=90°，∠ADE=∠BDO，求得∠ECO=∠DBO，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）过F作FE⊥x轴于E，由（1）知∠1=∠2，等量代换得到1=∠3，推出△BOD≌△CEF，根据全等三角形的性质得到BO=CE，DO=EF，通过△DOG≌△FEG，得到OG=GE，于是得到OG=$\frac{1}{2}$OE，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠ECO+∠AED=90°，∠DBO+∠BDO=90°，∠ADE=∠BDO，
∴∠ECO=∠DBO，
∴AB=AC；

（2）过F作FE⊥x轴于E，由（1）知∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
在△BDO与△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠BOD=∠CEF}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△CEF，
∴BO=CE，DO=EF，
在△DOG与△FEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGO=∠FGE}\\{∠DOG=∠FEG}\\{DO=EF}\end{array}\right.$，
∴△DOG≌△FEG，
∴OG=GE，
∴OG=$\frac{1}{2}$OE，
∵BO=CE，
∴BO+OC=CE+OC，
即BC=OE，
∴OG=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×4=2$，
即OG不变．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．