Question

9．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=45°，BD、AE分别是边AC、BC边上的高，AE和BD交于点G，点E、点F分别是BC、AG的中点．判断△DEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 结论：△DEF是等腰直角三角形．首先证明∠ADF=∠EDB，推出∠FDE=∠FDE=90°，再证明△ADF≌△BDE，推出DF=ED，即可解决问题．

解答 解：结论：△DEF是等腰直角三角形．
理由：∵BD、AE分别是边AC、BC边上的高，
∴∠ADG=∠BEG=90°，
∵∠AGD=∠BGE，
∴∠DAF=∠EBD，
∵AF=FG，BE=EC，
∴DF=AF=FG，DE=BE=EC，
∴∠FAD=∠FDA，∠EBD=∠EDB，
∴∠ADF=∠EDB，
∴∠FDE=∠FDE=90°，
∵∠BAC=45°，∠BDA=90°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴DB=DA，
在△ADF和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠EBD}\\{DA=DB}\\{∠ADF=∠EDB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE，
∴DF=ED，
∴△DEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．