Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点（能与B重合，不与C重合），以DC为直径的半圆O，交AC于点E．

（1）如图1，若点D与点B重合，半圆交AB于点F，求证：AE=AF．

（2）设∠B=60°，若半圆与AB相切于点T，在图2中画出相应的图形，求∠AET的度数．

（3）设∠B=60°，BC=6，△ABC的外心为点P，若点P正好落在半圆与其直径组成的封闭图形的内部，直接写出DC的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）75°；（3）4＜DC≤6．

【解析】

（1）连接BE，CF，根据已知条件，推断出△ABE≌△ACF即可；

（2）连接OT、OE、ET，根据已知推出∠OEC和∠TEO的度数，即可得出答案；

（3）以B为原点建立坐标系，求出各点坐标，设DC=a，写出圆O的解析式，再根据题意列出不等式计算即可．

证明：（1）如图1：连接BE，CF，

∵此时BC为直径，

∴∠BEC=∠CFB=90°，

∴∠AEB=∠AFC=90°，

又∵∠A=∠A，AB=AC，

∴△ABE≌△ACF，

∴AE=AF；

（2）如图2：连接OT、OE、ET，

∵AB=AC，∠B=60°，

∴∠C=60°，

∵OE=OC，

∴∠EOC=∠OEC=60°，

∵AB是圆的切线，

∴OT⊥AB，

∵∠BOT=90°-60°=30°，

∴∠TOE=90°，

∵OT=OE，

∴∠TEO=45°，

∴∠AET=180°-45°-60°=75°；

（3）以B为原点建立坐标系，

∵AB=AC,∠ABC=60°，

∴△ABC为正三角形，

∵BC=6，

∴C（6，0），A（3，），

∴△ABC的外心P（3，），

设DC=a，则圆O：，

当P在封闭图形的内部时，，

得a＞4，

∴4＜DC≤6．