Question

1£®ÒÑÖª£ºÖ±Ïßy=x+4ÓëxÖᣬyÖá·Ö±ð½»A¡¢BÁ½µã£®Ö±Ïßy=kx-2kÓëxÖá¡¢yÖá½»ÓÚµãD¡¢E£¬ÓëÏ߶ÎAB½»ÓÚµãCÇÒCΪABµÄÖе㣮
£¨1£©ÇókµÄÖµ£»
£¨2£©¶¯µãP´ÓµãA³ö·¢ÒÔÿÃë$\sqrt{2}$¸öµ¥Î»³¤¶ÈµÄËÙ¶ÈÑØÏ߶ÎABÔ˶¯ÏòÖÕµãBÔ˶¯£¬Í¬Ê±£¬¶¯µãQ´ÓµãA³ö·¢ÒÔÿÃë2¸öµ¥Î»³¤¶ÈµÄËÙ¶ÈÑØÕÛÏ߶ÎAOBÏòÖÕµãBÔ˶¯£®Éè¡÷PQEµÄÃæ»ýΪS£¬µãPµÄÔ˶¯Ê±¼äΪtÃ룬ÇóSÓëtµÄº¯Êý¹Øϵʽ£¨Ö±½Óд³ötµÄÈ¡Öµ£©£»
£¨3£©ÔÚP¡¢QµÄÔ˶¯¹ý³ÌÖУ¬ÊÇ·ñ´æÔÚʱ¼ät£¬Ê¹tan¡ÏPEQ=$\frac{1}{2}$£¿

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÏÈÇóµÃµãBµÄ×ø±êΪ£¨0£¬4£¬µãAµÄ×ø±êΪ£¨-4£¬0£¬£©´Ó¶ø¿ÉÇóµÃµãCµÄÖеã×ø±êΪ£¨-2£¬2£©£¬½«£¨-2£¬2£©´úÈëy=kx-2k¿ÉÇóµÃkµÄÖµ£»
£¨2£©¢ÙÈçͼ1Ëùʾ£º¹ýµãP×÷PF¡ÍOA£¬´¹×ãΪF£¬ÒÀ¾ÝS_PEQ=S_¡÷ABO-S_¡÷APQ-S_¡÷QEO-S_¡÷PEBÇó½â¼´¿É£»¢ÚÈçͼ2Ëùʾ£¬¹ýµãP×÷PF¡ÍOB£¬´¹×ãΪF£®ÓÉÌâÒâ¿ÉÖªPF=4-t£¬QE=AO+OE-2t=5-2t£¬È»ºóÒÀ¾ÝÈý½ÇÐεÄÃæ»ý¹«Ê½¿ÉÖªS_¡÷PQE=${t}^{2}-\frac{13}{2}t+10$£»¢ÛÈçͼ3Ëùʾ£º¹ýµãP×÷PF¡ÍOB£¬´¹×ãΪF£®ÓÉPF=4-t£¬QE=2t-5£¬È»ºóÒÀ¾ÝÈý½ÇÐεÄÃæ»ý¹«Ê½Çó½â¼´¿É£»
£¨3£©Èçͼ4Ëùʾ£»¹ýµãE×÷EP¡ÎOA£¬½»ABÓÚµãP£¬¹ýµãP×÷PG¡ÍOA£®ÓÉÖ±ÏßCDµÄ½âÎöʽΪy=-$\frac{1}{2}x+1$£¬¿ÉÖªtan¡ÏCDA=$\frac{1}{2}$£¬È»ºóÖ¤Ã÷¡ÏCEP=¡ÏPEQ=¡ÏCDA¼´¿É£»Èçͼ5Ëùʾ£ºµ±µãQÔÚEBÉÏʱ£®¹ýµãP×÷PF¡ÍEB£®ÓÉÌâÒâ¿ÉÖªFB=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}PB$£®ÓÉtan¡ÏPEF=$\frac{1}{2}$¿ÉÖªEF=2PF£¬´Ó¶øµÃµ½3BF=BE=3£¬ÓÚÊÇÇóµÃBF=1£¬¹Ê´ËPB=$\sqrt{2}$£®AP=3$\sqrt{3}$£¬´Ó¶ø¿ÉÇóµÃt=3£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ß½«x=0´úÈëy=x+4µÃ£ºy=4£¬
¡àµãBµÄ×ø±êΪ£¨0£¬4£©£®
¡ß½«y=0´úÈëy=x+4µÃ£ºx+4=0£¬½âµÃ£ºx=-4£®
¡àµãAµÄ×ø±êΪ£¨-4£¬0£©£®
¡ßµãCÊÇA¡¢BµÄÖе㣬
¡àµãCµÄÖеã×ø±êΪ£¨-2£¬2£©£®
½«£¨-2£¬2£©´úÈëy=kx-2kµÃ£º-2k-2k=2£®
½âµÃ£ºk=-$\frac{1}{2}$£®
£¨2£©½«k=-$\frac{1}{2}$´úÈëy=kx-2kµÃ£ºy=-$\frac{1}{2}x+1$£®
¡ß½«x=0´úÈëµÃ£ºy=1£¬
¡àµãEµÄ×ø±êΪ£¨0£¬1£©£®
¡ßOA=OB£¬
¡à¡ÏBAO=¡ÏABO=45¡ã£®
¢ÙÈçͼ1Ëùʾ£º¹ýµãP×÷PF¡ÍOA£¬´¹×ãΪF£®

¡ß¡ÏPAF=45¡ã£¬
¡àPF=AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}¡Á\sqrt{2}t$=t£®
¡àS_PEQ=S_¡÷ABO-S_¡÷APQ-S_¡÷QEO-S_¡÷PEB
=$\frac{1}{2}¡Á4¡Á4$-$\frac{1}{2}¡Á2t•t$-$\frac{1}{2}¡Á£¨4-2t£©¡Á1$-$\frac{1}{2}¡Á3¡Á£¨4-t£©$
=-${t}^{2}+\frac{5}{2}t$£¨0£¼t¡Ü2£©£®
¢ÚÈçͼ2Ëùʾ£¬¹ýµãP×÷PF¡ÍOB£¬´¹×ãΪF£®

ÔÚRt¡÷AOBÖУ¬AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$£®
¡ßPB=AB-AP£¬
¡àPB=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t£®
¡àPF=4-t£®
ÓÉÌâÒâ¿ÉÖª£ºQE=AO+OE-2t=5-2t£®
¡àS_¡÷PQE=$\frac{1}{2}¡Á£¨5-2t£©£¨4-t£©$=${t}^{2}-\frac{13}{2}t+10$£®£¨2£¼t¡Ü2.5£©
¢ÛÈçͼ3Ëùʾ£º¹ýµãP×÷PF¡ÍOB£¬´¹×ãΪF£®

¡ßPF=4-t£¬QE=2t-5£®
¡à${S}_{¡÷PQE}=\frac{1}{2}¡Á£¨2t-5£©¡Á£¨4-t£©$=$-{t}^{2}+\frac{13}{2}t-10$£®£¨2.5£¼t¡Ü4£©£®
×ÛÉÏËùÊö£¬SÓëtµÄº¯Êý¹ØϵʽΪS=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+\frac{5}{2}t£¨0£¼t¡Ü2£©}\\{{t}^{2}-\frac{13}{2}t+10£¨2£¼t¡Ü2.5£©}\\{-{t}^{2}+\frac{13}{2}t-10£¨2.5£¼t¡Ü4£©}\end{array}\right.$£®
£¨3£©Èçͼ4Ëùʾ£»¹ýµãE×÷EP¡ÎOA£¬½»ABÓÚµãP£¬¹ýµãP×÷PG¡ÍOA£®

¡ßÖ±ÏßCDµÄ½âÎöʽΪy=-$\frac{1}{2}x+1$£¬
¡àtan¡ÏCDA=$\frac{1}{2}$£®
¡ßEP¡ÎOA£¬PG¡ÎEO£¬OE=1£¬
¡àPG=1£®
¡àAP=$\sqrt{2}$£®
¡àt=1£®
µ±t=1ʱ£¬AQ=2t=2£®
¡àµãQµÄ×ø±êΪ£¨-2£¬0£©£®
¡àµãCÓëµãQ¹ØÓÚEP¶Ô³Æ£®
¡à¡ÏCEP=¡ÏQEP£®
¡ßEP¡ÎAD£¬
¡à¡ÏCEP=¡ÏCDA£®
¡à¡ÏPEQ=¡ÏCDA£®
¡àtan¡ÏPEQ=$\frac{1}{2}$£®
Èçͼ5Ëùʾ£ºµ±µãQÔÚEBÉÏʱ£®¹ýµãP×÷PF¡ÍEB£®

¡ß¡ÏPBF=45¡ã£¬¡ÏPFB=90¡ã£¬
¡àFB=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}PB$£®
¡ßtan¡ÏPEF=$\frac{1}{2}$£¬
¡àEF=2PF£®
¡àEF=2BF£®
¡à3BF=BE=3£®
¡àBF=1£®
¡àPB=$\sqrt{2}$£®
¡àAP=4$\sqrt{2}-\sqrt{2}$=3$\sqrt{3}$£®
¡àt=3$\sqrt{2}$$¡Â\sqrt{2}$=3£®
×ÛÉÏËùÊö£¬µ±t=1Ãë»òt=3Ãëʱ£¬tan¡ÏPEQ=$\frac{1}{2}$£®

µãÆÀ ±¾ÌâÖ÷Òª¿¼²éµÄÊÇÒ»´Îº¯ÊýµÄ×ÛºÏÓ¦¡¢Èñ½ÇÈý½Çº¯Êý¡¢µÈÑüÖ±½ÇÈý½ÇÐεÄÐÔÖÊ¡¢Öá¶Ô³ÆͼÐεÄÐÔÖÊ¡¢´ý¶¨ÏµÊý·¨ÇóÒ»´Îº¯ÊýµÄ½âÎöʽ£¬ÒÀ¾Ý¸î²¹·¨ÒÔ¼°Èý½ÇÐεÄÃæ»ý¹«Ê½ÇóµÃSÓëtµÄº¯Êý¹ØϵʽÊǽâÌâµÄ¹Ø¼ü£®