Question

10．如图所示，正三角形ABC的边长为2，$\frac{AE}{BE}$=2，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，BD交CE于点F，则△AEF的外接圆半径长为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由正三角形的性质和已知条件得出BE=AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{2}{3}$，AB=BC=AC，∠EBC=∠BAD=60°，得出AE=$\frac{4}{3}$，由SAS证明△BCE≌△ABD，得出∠1=∠2，由三角形的外角性质得出∠DFC=∠EAD=60°，证出A、D、F、E四点共圆，作DH⊥AB于H，则∠ADH=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出AH，求出DH、EH，由三角函数求出∠DEH=30°，得出∠ADE=90°，由圆周角定理得出∠AFE=∠ADE=90°，AE为△AEF的外接圆的直径，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵正三角形ABC的边长为2，$\frac{AE}{BE}$=2，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{2}{3}$，AB=BC=AC，∠EBC=∠BAD=60°，
∴AE=$\frac{4}{3}$，
在△BCE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}&{\;}\\{∠EBC=∠BAD}&{\;}\\{BE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠DFC=∠3+∠2=∠3+∠1=60°，
∴∠DFC=∠EAD=60°，
∴A、D、F、E四点共圆，
作DH⊥AB于H，则∠ADH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{3}$，DH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EH=AE-AH=1，
∴sin∠DEH=$\frac{DH}{EH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DEH=30°，
∴∠ADE=90°，
∴∠AFE=∠ADE=90°，
∴AE为△AEF的外接圆的直径，
∴△AEF的外接圆半径长为$\frac{1}{2}$AE=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆、正三角形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度．