Question

【题目】如图①，四边形OACB为长方形，A（﹣6，0），B（0，4），直线l为函数y＝﹣2x﹣5的图象．

（1）点C的坐标为 ；

（2）若点P在直线l上，△APB为等腰直角三角形，∠APB＝90°，求点P的坐标；

小明的思考过程如下：

第一步：添加辅助线，如图②，过点P作MN∥x轴，与y轴交于点N，与AC的延长线交于点M；

第二步：证明△MPA≌△NBP；

第三步：设NB＝m，列出关于m的方程，进而求得点P的坐标．

请你根据小明的思考过程，写出第二步和第三步的完整解答过程；

（3）若点P在直线l上，点Q在线段AC上（不与点A重合），△QPB为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（﹣6，4）；（2）（﹣5，5），见解析；（3）（﹣3，1）或（﹣7，9）

【解析】

(1)根据矩形的性质可以求得．
(2)由△MPA≌△NBP列出方程即可求解．

(3)分三种情形讨论①，利用图1中即可求出．
②，利用图2中即可求出．
③，利用图3中即可求出．

解：（1）∵四边形AOBC是矩形，

，

∴点C的坐标为．

故答案为C．

（2）根据题意得：，

∵为等腰直角三角形，

，

，

，

，

在中，

，

，

，

设，则，

，

，

解得：，

∴点P的坐标为；

（3）设点Q的坐标为，

分3种情况讨论：

①当时，如右图，过点P作轴于点M，点Q作轴于点N，

,

,

在中，

，

，

代入，解得：，

．

此时点Q不在线段AC时，不合题意，舍弃．

②当时，

若点P在BQ上方，即为（2）的情况，此时点Q与点A重合，由于题设中规定点Q不与点A重合，故此种情况舍去；

若点P在BQ下方，如右图，过点P作于点N，作轴于点M，

设，

，

，

在中，

，

，

，

，

把P坐标代入，得，

解得：.

此时点P的坐标为；

③当时如右图，过点Q作轴于点M，过点P作垂足为N，

设，

，

，

在中，

，

，

，

，

把P坐标代入，得：，

解得：，此时点P的坐标为，

综上所述，点P的坐标为或．