Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．

（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）若AD=2，AE=6，求EC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】试题（1）取BD的中点0，连结OE，如图，由∠BED=90°，根据圆周角定理可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO=∠C=90°，于是可根据切线的判定定理判断AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理得62+r2=（r+2）2，解得r=2，根据平行线分线段成比例定理，由OE∥BC得，然后根据比例性质可计算出EC．

试题解析：（1）证明：取BD的中点0，连结OE，如图，

∵DE⊥EB，

∴∠BED=90°，

∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠EB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴OE⊥AE，

∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OA=OD+DA=r+2，OE=r，

在Rt△AEO中，∵AE2+OE2=AO2，

∴62+r2=（r+2）2，解得r=2，

∵OE∥BC，

∴，即，

∴CE=3．