【题目】如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：①△ADF是等边三角形；②tan∠EBF＝2－
；③S△ADF＝
S正方形ABCD；④BF2＝DF·EF.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，由等边三角形的性质得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=
AM=2a，得出FN=MN-FM=（4-2）a，由三角函数的定义即可得出②正确；
求出△ADF的面积=
ADFM=4a2，正方形ABCD的面积=16a2，得出③错误；
求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，
∴FD=FA，
∴AD=FD=FA，
即△ADF是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，
∵△ADF是等边三角形，
∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=AM=2a，
∴FN=MN-FM=（4-2）a，
∴tan∠EBF=
=2-，②正确；
∵△ADF的面积=ADFM=×4a×2a=4a2，正方形ABCD的面积=（4a）2=16a2，
∴
，③错误；
∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，
∴∠AFB=∠ABF=75°，
∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，
∵∠BEF=180°-75°-75°=30°
∴△BEF∽△DBF，
∴
，
∴BF2=DFEF，④正确；
故选B．
轻巧夺冠周测月考直通中考系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④
其中，正确的 是（ ）
A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，OP与x轴正方向的夹角为α，则用[ρ，α]表示点P的极坐标，例如：点P的坐标为(1，1)，则其极坐标为[
，45°]．若点Q的极坐标为[4，120°]，则点Q的坐标为( )
A. (－2，2
) B. (2，－2) C. (－2，－2) D. (－4，－4)
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【题目】已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE等于多少；
（1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由；
（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：
①请在图3中画出图形；
②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明．
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【题目】（1）问题发现：如图1，如果△ACB和△CDE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.则AD与BE的数量关系为 ；∠AEB的度数为 度.
（2）拓展探究：如图2，如果△ACB和△CDE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE，判断线段AE与BE的位置关系，并说明理由.
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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若AD=2
，AE=6，求EC的长．
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【题目】如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17
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