Question

【题目】在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4），（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.

（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）M的坐标为（2，6）.

【解析】

（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；

（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案.

（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），

∴点A′的坐标为：（4，0），

∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，

∴，解得：，

∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；

（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，

∴，解得：，

∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，

设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），

则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，

∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，

∴M的坐标为：（2，6）；