【题目】如图,Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中,直角边OA与x轴重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置,抛物线y=ax2+bx经过点C、A.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,分别过点P,点M作x轴的垂线,交x轴于R、S两点,问:四边形PRSM的周长是否有最大值?如果有,请求出最值,并写出解答过程;如果没有,请说明理由.
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点Q,过点Q作x轴的垂线,垂足为H,使得以O、Q、H为顶点的三角形与OAB相似,如果存在,直接写出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由。
【答案】(1);(2)有,最大值为10,过程略;(3)存在,Q1(2,4);Q2 ().
【解析】
(1)根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标,又因为抛物线经过原点,故设y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式;
(2)四边形PRSM的周长有最大值,设点P的坐标为P(a,-a2+4a)则由抛物线的对称性知OR=AS,所以RS=PM=4-2a,PR=MS=-a2+4a,则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+(-a2+4a)]=-2(a-1)2+10,利用函数的性质即可求出四边形PRSM的周长的最大值.
(3)分别计算△OHQ∽△BAO和△OHQ∽△OAB时Q点的坐标,分析后即可解答.
解:(1)∵OA=4,AB=2,△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置,∴点C的坐标为(2,4).
又∵点A的坐标为(4,0),抛物线经过原点,故设y=ax2+bx(a≠0),把(2,4),(4,0)代入,得 ,
解得,所以抛物线的解析式为y=-x2+4x;
(2)有最大值.如图,
理由如下:设点P的坐标为P(a,-a2+4a),PR=MS=-a2+4a,
则由抛物线的对称性知OR=AS,所以RS=PM=4-2a,
则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+(-a2+4a)]=-2(a-1)2+10,
所以当a=1时,矩形PRSM的周长有最大值,Lmax=10.
(3)设H点坐标为(n,0),则OH=n,QH=-n+4n,
①假设△OHQ∽△BAO,则 ,
可得,解得=2,=0(舍去),
代入可得Q点坐标为(2,4);
②假设△OHQ∽△OAB,则,
,解得= ,=0(舍去),
代入可得Q点坐标为(,);
综上所述Q点坐标为(2,4)或(,).
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【题目】已知:如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.
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【题目】如图1,我们将相同的两块含30°角的直角三角板Rt△DEF与Rt△ABC叠合,使DE在AB上,DE过点C,已知AC=DE=6.
(1)将图1中的△DEF绕点D逆时针旋转(DF与AB不重合),使边DF、DE分别交AC、BC于点P、Q,如图2.
①求证:△CQD∽△APD;②连接PQ,设AP=x,求面积S△PCQ关于x的函数关系式;
(2)将图1中的△DEF向左平移(点A、D不重合),使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N设AM=t,如图3.
①判断△BEN是什么三角形?并用含t的代数式表示边BE和BN;②连接MN,求面积S△MCN关于t的函数关系式;
(3)在旋转△DEF的过程中,试探求AC上是否存在点P,使得S△PCQ等于平移所得S△MCN的最大值?说明你的理由.
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【题目】如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
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【题目】某市为创建全国文明城市,开展“美化绿化城市”活动,计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米.自2013年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成任务.
(1)问实际每年绿化面积多少万平方米?
(2)为加大创城力度,市政府决定从2016年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?
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【题目】国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组:
30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100);
b.国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是:61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:
d.中国的国家创新指数得分为69.5.
(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)
根据以上信息,回答下列问题:
(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______;
(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中,包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方.请在图中用“”圈出代表中国的点;
(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中,人均国内生产总值的最小值约为______万美元;(结果保留一位小数)
(4)下列推断合理的是______.
①相比于点A,B所代表的国家,中国的国家创新指数得分还有一定差距,中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务,进一步提高国家综合创新能力;
②相比于点B,C所代表的国家,中国的人均国内生产总值还有一定差距,中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标,进一步提高人均国内生产总值.
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【题目】在△ABC中,,分别是两边的中点,如果上的所有点都在△ABC的内部或边上,则称为△ABC的中内弧.例如,下图中是△ABC的一条中内弧.
(1)如图,在Rt△ABC中,分别是的中点.画出△ABC的最长的中内弧,并直接写出此时的长;
(2)在平面直角坐标系中,已知点,在△ABC中,分别是的中点.
①若,求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围;
②若在△ABC中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围.
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【题目】(生活观察)甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:
菜价元千克 | ||
质量 | 金额 | |
甲 | 千克 | 元 |
乙 | 千克 | 元 |
菜价元千克 | ||
质量 | 金额 | |
甲 | 千克 | ____元 |
乙 | ____千克 | 元 |
(1)完成上表;
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价总金额总质量)
(数学思考)设甲每次买质量为千克的菜,乙每次买金额为元的菜,两次的单价分别是元千克、元千克,用含有、、、的式子,分别表示出甲、乙两次买菜的均价、.比较、的大小,并说明理由.
(知识迁移)某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次,在没有水流时,船的速度为所需时间为:如果水流速度为时(),船顺水航行速度为(),逆水航行速度为(),所需时间为请借鉴上面的研究经验,比较、的大小,并说明理由.
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