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【题目】如图,RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中,直角边OAx轴重合,∠OAB=90°,OA=4AB=2,把RtOAB绕点O逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置,抛物线y=ax2+bx经过点CA.

1)求该抛物线的解析式;

2)在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点Px轴的平行线交抛物线于点M,分别过点P,点Mx轴的垂线,交x轴于RS两点,问:四边形PRSM的周长是否有最大值?如果有,请求出最值,并写出解答过程;如果没有,请说明理由.

3)在x轴上方的抛物线上是否存在点Q,过点Qx轴的垂线,垂足为H,使得以OQH为顶点的三角形与OAB相似,如果存在,直接写出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由。

【答案】1;(2)有,最大值为10,过程略;(3)存在,Q1(2,4);Q2 ().

【解析】

1)根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标,又因为抛物线经过原点,故设y=ax2+bx把(24),(40)代入,求出ab的值即可求出该抛物线的解析式;

2)四边形PRSM的周长有最大值,设点P的坐标为Pa-a2+4a)则由抛物线的对称性知OR=AS,所以RS=PM=4-2aPR=MS=-a2+4a,则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+-a2+4a]=-2a-12+10,利用函数的性质即可求出四边形PRSM的周长的最大值.

3)分别计算△OHQ△BAO△OHQ△OABQ点的坐标,分析后即可解答.

解:(1)∵OA=4AB=2AOB绕点O逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置,∴点C的坐标为(24).

又∵点A的坐标为(40),抛物线经过原点,故设y=ax2+bxa≠0),把(24),(40)代入,得

解得,所以抛物线的解析式为y=-x2+4x

2)有最大值.如图,

理由如下:设点P的坐标为Pa-a2+4a),PR=MS=-a2+4a

则由抛物线的对称性知OR=AS,所以RS=PM=4-2a

则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+-a2+4a]=-2a-12+10

所以当a=1时,矩形PRSM的周长有最大值,Lmax=10

3)设H点坐标为(n0,OH=nQH=-n+4n

①假设△OHQ△BAO,则 ,

可得,解得=2=0(舍去),

代入可得Q点坐标为(24);

②假设△OHQ△OAB,则,

,解得= =0(舍去),

代入可得Q点坐标为();

综上所述Q点坐标为(24)或(.

练习册系列答案
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【题目】已知:如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点.

1)求一次函数和反比例函数的解析式;

2)求的面积;

3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.

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【题目】如图1,我们将相同的两块含30°角的直角三角板RtDEFRtABC叠合,使DEAB上,DE过点C,已知ACDE6

1)将图1中的△DEF绕点D逆时针旋转(DFAB不重合),使边DFDE分别交ACBC于点PQ,如图2

①求证:△CQD∽△APD;②连接PQ,设APx,求面积SPCQ关于x的函数关系式;

2)将图1中的△DEF向左平移(点AD不重合),使边FDFE分别交ACBC于点MNAMt,如图3

①判断△BEN是什么三角形?并用含t的代数式表示边BEBN;②连接MN,求面积SMCN关于t的函数关系式;

3)在旋转△DEF的过程中,试探求AC上是否存在点P,使得SPCQ等于平移所得SMCN的最大值?说明你的理由.

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【题目】如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.

(1)求这个抛物线的解析式;

(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?

(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.

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【题目】某市为创建全国文明城市,开展“美化绿化城市”活动,计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米.自2013年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成任务.

(1)问实际每年绿化面积多少万平方米?

(2)为加大创城力度,市政府决定从2016年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?

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【题目】国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:

a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组:

30≤x4040≤x5050≤x6060≤x7070≤x8080≤x9090≤x≤100);

b.国家创新指数得分在60≤x70这一组的是:61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5

c40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:

d.中国的国家创新指数得分为69.5.

(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)

根据以上信息,回答下列问题:

1)中国的国家创新指数得分排名世界第______

2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中,包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方.请在图中用圈出代表中国的点;

3)在国家创新指数得分比中国高的国家中,人均国内生产总值的最小值约为______万美元;(结果保留一位小数)

4)下列推断合理的是______

相比于点AB所代表的国家,中国的国家创新指数得分还有一定差距,中国提出加快建设创新型国家的战略任务,进一步提高国家综合创新能力;

相比于点BC所代表的国家,中国的人均国内生产总值还有一定差距,中国提出决胜全面建成小康社会的奋斗目标,进一步提高人均国内生产总值.

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【题目】△ABC中,分别是两边的中点,如果上的所有点都在△ABC的内部或边上,则称△ABC的中内弧.例如,下图中△ABC的一条中内弧.

1)如图,在Rt△ABC中,分别是的中点.画出△ABC的最长的中内弧,并直接写出此时的长;

2)在平面直角坐标系中,已知点,在△ABC中,分别是的中点.

①若,求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围;

②若在△ABC中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心P△ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围.

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【题目】(生活观察)甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:

菜价千克

质量

金额

千克

千克

菜价千克

质量

金额

千克

____元

____千克

1)完成上表;

2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价总金额总质量)

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【题目】如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上.

(1)求证:∠CAD=BDC;

(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.

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