Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝﹣3x+3与直线AB：y＝ax+b交于点A，且B（﹣9，0）．

（1）若F是第二象限位于直线AB上方的一点，过F作FE⊥AB于E，过F作FD∥y轴交直线AB于D，D为AB中点，其中△DFF的周长是12+4，若M为线段AC上一动点，连接EM，求EM+MC的最小值，此时y轴上有一个动点G，当|BG﹣MG|最大时，求G点坐标；

（2）在（1）的情况下，将△AOC绕O点顺时针旋转60°后得到△A′OC'，如图2，将线段OA′沿着x轴平移，记平移过程中的线段OA′为O′A″，在平面直角坐标系中是否存在点P，使得以点O′，A″，E，P为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）-，（0，）；（2）存在，（2，2+3）或（﹣9，2）或（6﹣3，﹣2）

【解析】

（1）点，则点，过点C作x轴的垂线、过点M作y轴的垂线，两垂线交于点H，MH＝MCcosα＝MC，当点E、M、H三点共线时，EM+MH＝EM+MC最小，点，EM+MC最小值＝EH＝xC﹣xE＝；作点M关于y轴的对称点，连接BM′交y轴于点G，则此时|BG﹣MG|最大，即可求解；

（2）设线段OA′沿着x轴平移了m个单位，则点O′、A″的坐标分别为（m，0）、(，)，而点，

①当O′A″是菱形的边时，则EP（P′）＝O′A″＝OA＝3，即可求解；

②当O′A″是菱形的对角线时，设点P（a，b），由中点公式得：，，而EO＝EA，即：，即可求解．

（1）由AC：得：点A、C的坐标分别为：，

∴，

则，则

点，点A，代入y＝ax+b，

得：，解得：

则直线AB的表达式为：，

∴，

∴，则，

∵FE⊥AB，FD∥y轴，则∠F＝∠ABO＝30°，

设：，则，，△DFF的周长是，

则，解得：，

D为AB中点，则点，

s＝ED＝4，则，

则点，

过点C作x轴的垂线、过点M作y轴的垂线，两垂线交于点H，如图1：

则∠HMC＝∠ACO＝α，则MH＝MCcosα＝MC，

当点E、M、H三点共线时，EM+MH＝EM+MC最小，

则，

点M在直线AC上，则点，

作点M关于y轴的对称点，连接BM′交y轴于点G，如图2：

则点G为所求，此时|BG﹣MG|最大，

将、的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，

解得：

故点G的坐标为：；

综上，EM+MC最小值为：﹣，G的坐标为：（0，）；

（2）将△AOC绕O点顺时针旋转60°后得到△A′OC'，

则△OAA′为边长为4的等边三角形，则点A′（，），

设线段OA′沿着x轴平移了m个单位，

则点O′、A″的坐标分别为（m，0）、（，），而点，

①当O′A″是菱形的边时，

直线OA′和直线AB的倾斜角都是30°，故O′A″∥OA′∥AB，

则EP（P′）＝O′A″＝OA＝3，

则xP﹣xE＝3cos30°＝，

故点P（2，2+3），

同理点P′（，2）；

②当O′A″是菱形的对角线时，

设点P（a，b），

由中点公式得：，，

而EO＝EA，即：，

解得：，b＝﹣2，﹣6，

故：6﹣3，，

则点P（6﹣3，﹣2）；

综上，点P坐标为：（2，2+3）或（﹣9，2）或（6﹣3，﹣2）．