Question

1．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．
（1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式；
（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S．
①求S与a的函数关系式；
②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由；
（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入y=mx+2得y=2，故此点D的坐标为（0，2），由CG=OD=2可知点G的坐标为（2，6），将点G（2，6）代入y=mx+2可求得m=2；
（2）①如图1所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴与点N．先证明Rt△GHF≌Rt△EOD，从而得到FH=DO=2，由三角形的面积公式可知：S=6-a．②当s=1时，a=5，在△CGD中由勾股定理可求得DG=$\sqrt{41}$，由菱形的性质可知；DG=DE=$\sqrt{41}$，在Rt△DOE中由勾股定理可求得OE=$\sqrt{37}$＞6，故S≠1；
（3）如图2所示：连接DF交EG于点M，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．由菱形的性质可知：DM⊥GM，点M为DF的中点，根据角平分线的性质可知：MD=CD=4，由中点坐标公式可知点M的纵坐标为3，于是得到ND=1，根据勾股定理可求得MN=$\sqrt{15}$，于是得到点M的坐标为（$\sqrt{15}$，3）然后利用待定系数法求得DM、GM的解析式，从而可得到点G的坐标，最后将点G的坐标代入y=mx+2可求得m=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

解答 （1）∵将x=0代入y=mx+2得；y=2，
∴点D的坐标为（0，2）．
∵CG=OD=2，
∴点G的坐标为（2，6）．
将点G（2，6）代入y=mx+2得：2m+2=6．
解得：m=2．
∴直线DG的函数表达式为y=2x+2．
（2）①如图1所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴与点N．

∵四边形DEFG为菱形，
∴GF=DE，GF∥DE．
∴∠GNC=∠EDO．
∴∠NGC=∠DEO．
∴∠HGF=∠DEO．
在Rt△GHF和Rt△EOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HGF=∠DEO}\\{∠GHF=∠EOD}\\{DE=FG}\end{array}\right.$，
∴Rt△GHF≌Rt△EOD．
∴FH=DO=2．
∴${S}_{△GBF}=\frac{1}{2}GB•HF$=$\frac{1}{2}$×2×（6-a）=6-a．
∴S与a之间的函数关系式为：S=6-a．
②当s=1时，则6-a=1．
解得：a=5．
∴点G的坐标为（5，6）．
在△DCG中，由勾股定理可知；DG=$\sqrt{C{D}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$．
∵四边形GDEF是菱形，
∴DE=DG=$\sqrt{41}$．
在Rt△DOE中，由勾股定理可知OE=$\sqrt{D{E}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{41-4}$=$\sqrt{37}$＞6．
∴OE＞OA．
∴点E不在OA上．
∴S≠1．
（3）如图2所示：连接DF交EG于点M，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．

又∵四边形DEFG为菱形，
∴DM⊥GM，点M为DF的中点．
∵GD平分∠CGE，DM⊥GM，GC⊥OC，
∴MD=CD=4．
∵由（2）可知点F的坐标为4，点D的纵坐标为2，
∴点M的纵坐标为3．
∴ND=1．
在Rt△DNM中，MN=$\sqrt{D{M}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{15}$．
∴点M的坐标为（$\sqrt{15}$，3）．
设直线DM的解析式为y=kx+2．将（$\sqrt{15}$，3）代入得：$\sqrt{15}$k+2=3．
解得：k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴设直线MG的解析式为y=$-\sqrt{15}$x+b．将（$\sqrt{15}$，3）代入得：-15+b=3．
解得：b=18．
∴直线MG的解析式为y=-$\sqrt{15}$x+18．
将y=6代入得：$-\sqrt{15}x+18=6$．
解得：x=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$．
∴点G的坐标为（$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，6）．
将（$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，6）代入y=mx+2得：$\frac{4\sqrt{15}}{5}$m+2=6．
解得：m=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、全等三角形的性质和判定、待定系数法求一次函数的解析式、角平分线的性质，求得点M的坐标是解题的关键．