Question

10．如图，点D，E分别在等边△ABC的边BC，AB上，且AE=BD，连接AD，CE交于点F，过点B作BQ∥CE交AD延长线于点Q．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求证：AF=BQ．

Answer 1

分析 （1）因为△ABC为等边三角形，所以∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC，根据SAS易证△ABD≌△CAE，则∠BAD=∠ACE，由∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，所以∠ACE+∠DAC=60°，再根据∠AFE=∠ACE+∠DAC，即可解答；
（2）延长CE到M，使CM=AQ，连接AM，根据SAS推出△BAQ≌△CAM，根据全等三角形的性质得出∠Q=∠M，AM=BQ，根据平行线的性质得出∠Q=∠AFM，求出∠M=∠AFM，求出AM=AF即可．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=BC=AC．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD=∠ACE，
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠ACE+∠DAC=60°，
∵∠AFE=∠ACE+∠DAC，
∴∠AFE=60°；

（2）证明：
延长CE到M，使CM=AQ，连接AM，
∵在△BAQ和△CAM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAQ=∠ACM}\\{AQ=CM}\end{array}\right.$
∴△BAQ≌△CAM（SAS），
∴∠Q=∠M，AM=BQ，
∵BQ∥CE，
∴∠Q=∠AFM，
∴∠M=∠AFM，
∴AM=AF，
∵AM=BQ，
∴AF=BQ．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据知识点进行推理是解此题的关键．