Question

如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=CD，∠C=60°，DH⊥BC于点H，点E是BC上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，射线EF交CD所在直线于点M
（1）若点M在CD边上时，求证：FM-DM=CH；
（2）如图2，若点M在CD边得延长线上时，FM、DM、CH三条线段有怎样得数量关系？说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）利用过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AM，进而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，求出MG=MF，即可得出答案；
（2）过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AM，AC，进而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，求出MG=MF，即可得出答案．

解答：（1）证明：过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AM，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
在Rt△AGD和Rt△DHC中，AD=DC，AG=DH，由勾股定理得：DG=CH，
∴FM-DM=CH；

（2）FM+DM=CH，
理由是：过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AM，AC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF，
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM+DM=GD，
在Rt△AGD和Rt△DHC中，AD=DC，AG=DH，由勾股定理得：DG=CH，
∴FM+DM=CH．

点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定等知识，根据已知得出全等三角形进而得出对应角对应边的关系是解题关键．