Question

Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，点E、F分别为AB和AC上的点，且△AEF和△ABC相似，作AD⊥EF于点D，当AE=1时，AD的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：因为两个相似三角形的对应边不确定，所以需要分类讨论；借助相似三角形的性质及勾股定理，运用三角形的面积公式即可解决问题．

解答：解：若△AEF∽△ABC，则

AE

AB

=

AF

AC

；
当AE=1时，AF=

AE•AC

AB

=

1×4

2

=2，
此时EF=

12+22

=

5

，由三角形的面积公式得：

1

2

EF•AD=

1

2

AE•AF，
∴AD=

AE•AF

EF

=

1×2

5

=

2 5

5

；
若△AEF∽△ACB，则

AE

AC

=

AF

AB

，
当AE=1时，AF=

AE•AB

AC

=

1×2

4

=

1

2

，此时EF=

12+( 1 2 )2

=

5 4

=

5

2

；
由三角形的面积公式得：

1

2

EF•AD=

1

2

AE•AF，
∴AD=

AE•AF

EF

=

1× 1 2

5 2

=

5

5

；
综上所述，AD的长为

2 5

5

或

5

5

；
该题答案为

2 5

5

或

5

5

点评：该题主要考查了相似三角形的性质及其应用问题；解题的关键是借助分类讨论的数学思想，按两种情况分类解决；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．