Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，的平分线与正比例函数交于点，且与相交于点，在轴负半轴上有一点.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，过点作，垂足为，连接，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点作，垂足为点，交于点，连接，若，，求直线的解析式.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据平行线的性质及角平分线的定义，通过角的运算得出；

（2）如图所示作辅助线，根据已知条件，得出四边形为正方形，再根据角平分线的定义及全等三角形的性质得出；

（3）如图所示作辅助线，通过辅助线及等量代换，得出，进而得出为等腰直角三角形，得出，再通过，设出未知数，表达出，根据已知条件及勾股定理，列出方程，解出A，B坐标，进而求出一次函数的解析式.

（1）如图1，∵平分

∴

∵正比例函数的图象是直线

∴

∵

∴

∵

∴

∴

（2）如图2，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点.

∵

∴

∴四边形为矩形

∵

∴

∴

∴四边形为正方形

∴

∵是的角平分线

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

（3）如图3，延长到点，由（2）问可得平分，

∵平分

∴由（1）问的方法可得

∵

∴为等腰直角三角形

即

过点作交于点，

∵，，

∴

∵，，

∴

∴

∴，

即为等腰直角三角形

∴

∵

∴

∵，，

∴设，

∴，，，，

∵，

∴

由（2）可知

设，则，即，

在中

∴

即，

设直线的解析式为

解得，.