Question

11．如图，抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），抛物线的对称轴l与x轴交于点D，P为对称轴l上一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为圆心，BP为半径作⊙B，当直线AP与⊙B相切时，求点P坐标；
（3）在（1）中的抛物线上求点M，使得△ACM是以AC为直角边的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）直接利用交点式将点A（-1，0），B（3，0），代入求出即可；
（2）利用切线的性质得出DP垂直平分AB，即DP是△ABP斜边中线，进而得出P点坐标；
（3）利用当MA⊥AC以及MC⊥AC进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．

解答 解：（1）由题意得：y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3；

（2）如图1，
∵直线AP与⊙B相切，
∴AP⊥BP，
∵DP垂直平分AB，即DP是△ABP斜边中线，
∴DP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴P（1，2）或（1，-2）

（3）两种情况，设M（m，m²-2m-3），
如图2，过A作AM⊥AC交抛物线于点M，作MN⊥x轴于点N，
∴∠MAN+∠CAO=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠CAO=∠AMN，
∵∠AOC=∠MNA=90°，
∴△AOC∽△MNA，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{MN}{AN}$，即$\frac{1}{3}$=$\frac{{m}^{2}-2m-3}{m+1}$，
解得：m₁=-1（舍），m₂=$\frac{10}{3}$，
∴M（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$），
如图3，
过点C作CM⊥AC交抛物线于点M，作MN⊥y轴于点N，
∴∠ACO+∠OAC=90°，∠ACO+∠NCM=90°，
∴∠OAC=∠NCM，
又∵∠AOC=∠CNM=90°，
∴△AOC∽△CNM，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{NC}{MN}$，即，$\frac{1}{3}$=$\frac{3-（-{m}^{2}+2m+3）}{m}$，
解得m₁=0，m₂=$\frac{7}{3}$，
∴M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
综上，在抛物线上存在点M（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$），使得△ACM是以AC为直角边的直角三角形．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质、切线的性质以及直角三角形的性质等知识，正确分类讨论得出是解题关键．