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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点AC分别在x轴,y轴上,四边形ABCO为矩形,AB=16AC=20,D与点A关于y轴对称,点EF分别是线段ADAC上的动点(点E不与点AD重合),且∠CEF=ACB.

1)直接写出BC的长是   D的坐标是   

2)证明:AEFDCE相似;

3)当EFC为等腰三角形时,求点E的坐标

【答案】1 A-120),D120);(2证明见解析;3)点E的坐标为(80)或(0.

【解析】试题分析:1)利用矩形的性质,在中,利用三角函数求出的长度,从而得到点坐标;由点与点关于轴对称,进而得到点的坐标;
2欲证△AEF与△DCE相似,只需要证明两个对应角相等即可.如图①,在△AEF与△DCE中,易知从而问题解决;
3)当为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论:
①当时,此时△AEF与△DCE相似比为1,则有
②当时,此时△AEF与△DCE相似比为,则有

③当时, 点与点重合,这与已知条件矛盾,故此种情况不存在.

试题解析:(1)由题意

∵四边形ABCO为矩形,AB=16

A点坐标为(12,0)

∵点D与点A关于y轴对称,

D(12,0).


(2)D与点/span>A关于y轴对称,∴∠CDE=CAO

∵∠CEF=ACBACB=CAO

∴∠CDE=CEF

又∵∠AEC=AEF+CEF=CDE+DCE(三角形外角性质)

∴∠AEF=DCE.

则在△AEF与△DCE中,∠CDE=CAOAEF=DCE

∴△AEF∽△DCE.

(3)当△EFC为等腰三角形时,有以下三种情况:

①当CE=EF时,

∵△AEF∽△DCE

AE=CD=20

OE=AEOA=2012=8

E(8,0)

②当EF=FC时,如图②所示,过点FFMCEM,则点MCE中点,

∵△AEF∽△DCE

解得

③当CE=CF时,则有∠CFE=CEF

∵∠CEF=ACB=CAO

∴∠CFE=CAO,即此时点与点重合,这与已知条件矛盾.

综上所述,当△EFC为等腰三角形时,E的坐标为(8,0)

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