Question

【题目】中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之首，被称为”神州第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从AC开始顺时针旋转至AD便立即回转，灯B发出的光束从BE开始顺时针旋转至BF便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD=∠BAC，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）．

（1）求∠BAD的度数；

（2）若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达BF之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间t；

（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达AD之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作∠AMN交BE于点N，且∠AMN=135°．请探究：∠BAM与∠BMN的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）当t=20秒或68秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAM与∠BMN关系不会变化

【解析】

（1）因为邻补角互补，则∠BAC+∠BAD=180°，且∠BAD=∠BAC，则∠BAC：∠BAD=3：1，所以∠BAD=180°×=45°.（2）分情况讨论，①当0＜t＜60时，由平行线的性质可得∠EBE'=∠CAC'，所以3t=2（10+t），求解即可；②当60＜t＜80时，由平行线的性质可得∠EBE'+∠C'AD=180°，所以2（10+t）+（3t-180）=180，求解即可.（3）∠BAM与∠BMN关系不会变化，利用角的和差关系分别表示出∠BAM=3t-135°，

∠BMN= t-45°，则∠BMN=∠BAM，所以∠BAM和∠BMN关系不会变化．

解：（1）如图1，∵∠BAC+∠BAD=180°，∠BAD=∠BAC，

∴∠BAC：∠BAD=3：1，

∴∠BAD=180°×=45°，

故答案为：45.

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0＜t＜60时，如图2，

∵CD∥EF，

∴∠EBE'=∠BE'A，

∵BE'∥AC'，

∴∠BE'A=∠CAC'，

∴∠EBE'=∠CAC'，

∴3t=2（10+t），

解得t=20.

②当60＜t＜80时，如图3，

∵CD∥EF，

∴∠EBE'+∠BE'D=180°，

∵AC'∥BE'，

∴∠BE'D=∠C'AD，

∴∠EBE'+∠C'AD=180°，

∴2（10+t）+（3t-180）=180，

解得t=68，

综上所述，当t=20秒或68秒时，两灯的光束互相平行.

（3）∠BAM与∠BMN关系不会变化.

．

理由如下：如图4，设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠MAD=180°-3t，

∴∠BAM=∠BAD-∠MAD=45°-（180°-3t）=3t-135°，

又∵∠ABM=∠EBA-∠EBM=135°-2t，

∴∠BMA=180°-∠ABM-∠BAM=180°-（135°-2t）-（3t-135°）=180°-t，

又∵∠AMN=135°，

∴∠BMN=∠AMN -∠BMA=135°-（180°-t）=t-45°，

∴∠BAM：∠BMN=3：1，

即∠BMN=∠BAM，

∴∠BAM和∠BMN关系不会变化．