Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC的外心，连接AD、CD．将△ADC绕点A顺时针旋转到△AEB，连接ED．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）连接BD，判断四边形AEBD的形状并证明．

Answer 1

分析 （1）由旋转性质可得∠DAE=∠CAB、AE=AD，结合AB=AC根据$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$且∠DAE=∠CAB可证得；
（2）由三角形外心可得DB=DA=DC，结合△ADC≌△AEB知DB=DA=BE=AE，即可判定四边形AEBD的形状．

解答 证明：（1）∵△ADC 绕点A顺时针旋转得到△AEB，
∴△ADC≌△AEB．
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD．
∴∠DAE=∠CAB．
∵AB=AC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$．
∴△AED∽△ABC．
（2）四边形AEBD是菱形．
∵D是△ABC的外心，
∴DB=DA=DC．
又∵△ADC≌△AEB，
∴AE=AD，BE=DC．
∴DB=DA=BE=AE．
∴四边形AEBD是菱形．

点评 本题主要考查相似三角形的判定及菱形的判定，熟练掌握旋转的性质及三角形外心的性质是解题的关键．