Question

18．如图，已知锐角∠MBN的正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，点D在∠MBN的边BN上，点P在∠MBN内，PD=3，BD=9，直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C，设$\frac{CA}{CP}$=x
（1）求x=2时，点A到BN的距离；
（2）设△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由PD∥AH得到$\frac{AH}{PD}=\frac{CA}{CP}$=2，即可；
（2）由PD∥AH得到$\frac{AH}{PD}=\frac{CA}{CP}$，再由tan∠MBN=3，比例式表示出BC，CD，即可；
（3）△ABC为等腰三角形时，分三种情况①AB=AC，②CB=CA，③BC=BA利用tan∠MBN=3，建立方程即可．

解答 解：（1）如图1，

过点A作AH⊥BC，
∵PD⊥BC，
∴PD∥AH，
∴$\frac{AH}{PD}=\frac{CA}{CP}$=2，
∴AH=2PD=6，
（2）∵PD∥AH，
∴$\frac{CA}{CP}=\frac{AH}{PD}$=x，
∴AH=PD×x=3x，
∵tan∠MBN=3，
∴BH=3，
∵$\frac{CD}{HD}=\frac{PD}{AH}$，
∴$\frac{CD}{CD+9-x}=\frac{3}{3x}$，
∴CD=$\frac{9-x}{x-1}$，
∴BC=BD+CD=9+$\frac{9-x}{x-1}$=$\frac{8x}{x-1}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AH×BC=$\frac{1}{2}$×3x×$\frac{8x}{x-1}$=$\frac{1{2x}^{2}}{x-1}$，
∴y=$\frac{1{2x}^{2}}{x-1}$（1＜x≤9），
（3）①当AB=AC时，
∵tan∠PCB=tan∠MBC=3，
∴$\frac{PD}{CD}$=3，
∴CD=1，
∴BC=BD+CD=10，
∴$\frac{8x}{x-1}$=10，
∴x=5，
②当CB=CA时，如图2，

过点C作CE⊥AB，
BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$x，
∵tan∠MBN=3，
∴cos∠MBN=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}x}{\frac{8x}{x-1}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴x=$\frac{13}{5}$；
③当BA=BC时，$\sqrt{10}$x=$\frac{8x}{x-1}$，
∴x=1+$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴△ABC为等腰三角形时，x=5或$\frac{13}{5}$或1+$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 此题是几何变换的综合题，主要考查平行线分线段成比例定理和锐角三角函数，由平行线分线段成比例定理建立方程是解本题的关键．