【题目】解题时,最容易想到的方法未必是最简单的,你可以再想一想,尽量优化解法.
例题呈现
关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=1,x2=-2(a、m、b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 .
解法探讨
(1)小明的思路如图所示,请你按照他的思路解决这个问题;
小明的思路
第1步 把1、-2代入到第1个方程中求出m的值;
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出的值;
第3步 解第2个方程.
(2)小红仔细观察两个方程,她把第2个方程a(x+m+2)2+b=0中的“x+2”看作第1个方程中的“x”,则“x+2”的值为 ,从而更简单地解决了问题.
策略运用
(3)小明和小红认真思考后发现,利用方程结构的特点,无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题,请用他们说的方法完成解答.
已知方程 (a2-2b2)x2+(2b2-2c2)x+2c2-a2=0有两个相等的实数根,其中a、b、c是△ABC三边的长,判断△ABC的形状.
【答案】(1)x1=-1,x2=-4 (2)1或-2 (3)直角三角形
【解析】
(1)根据题意利用待定系数法求解即可.
(2)把后面一个方程中的x+2看作整体,相当于前面一个方程中的x求解.
(3)先根据有两个相等的实数根,再根据根于系数的关系列出方程,找到a、b、c的关系,从而判断三角形的形状.
(1)解:将x1=1,x2=-2代入到方程a(x+m)2+b=0中,
得 ,
∴ m+1=±(m-2),
解得 m=
∴ a(+1)2+b=0.
∴ -=
第2个方程可变形为(x++2)2=-,
即(x+)2=,
解得:x1=-1,x2=-4
(2)关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0);
(3)解:∵ (a2-2b2)+(2b2-2c2)+(2c2-a2)=0,
∴ 方程必有一根是x=1
∴ 方程的两根为x1=x2=1.
∴ x1·x2=1= .
∴ a2=b2+c2.
∴ △ABC是一个直角三角形
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【题目】甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如下表,他们5次考试的总成绩相同,请同学们完成下列问题:
第1 次 | 第2 次 | 第 3次 | 第 4次 | 第5 次 | |
甲成绩 | 90 | 40 | 70 | 40 | 60 |
乙成绩 | 70 | 50 | 70 | 70 |
(1)统计表中,求的值,甲同学成绩的极差为多少;
(2)小颖计算了甲同学的成绩平均数为60,方差是[(90﹣60)2+(40﹣60)2+(70﹣60)2+(40﹣60)2+(60﹣60)2]=360.
请你求出乙同学成绩的平均数和方差;
(3)从平均数和方差的角度分析,甲乙两位同学谁的成绩更稳定.
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【题目】(概念认知):
城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(,)和B(,),用以下方式定义两点间距离:d(A,B)=+.
(数学理解):
(1)①已知点A(﹣2,1),则d(O,A)= ;②函数(0≤x≤2)的图像如图①所示,B是图像上一点,d(O,B)=3,则点B的坐标是 .
(2)函数(x>0)的图像如图②所示,求证:该函数的图像上不存在点C,使d(O,C)=3.
(3)函数(x≥0)的图像如图③所示,D是图像上一点,求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标.
(问题解决):
(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)
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【题目】已知关于x的一元二次方程 kx2+(2k+1)x+k+2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)若该方程的两根x1、x2满足=-3,求k的值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.
(1)求证: BE=CF;
(2)请探究旋转角等于多少度时,四边形ABDF为菱形,证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,求CD的长.
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【题目】如果点D、E分别在△ABC中的边AB和AC上,那么不能判定DE∥BC的比例式是( )
A. AD:DB=AE:EC B. DE:BC=AD:AB
C. BD:AB=CE:AC D. AB:AC=AD:AE
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若BC=2,∠D=60°时,求劣弧AC的长.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为x=﹣1.给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;④a+b+c=0.其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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