Question

【题目】如图1，在ABC中，，，点D是AB中点，

（1）点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF.

（i）求证：△BCD为等边三角形；

（ii）随着点E位置的变化，的度数是否变化？若不变化，求出的度数；

（2）DPAB交AC于点P，点E为线段AP上一点，连结BE，作，如图2所示，EQ交PD延长线于Q，探究线段PE，PQ与AP之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）（i）见解析；（ii）∠DBF的度数不变，∠DBF=30°；（2） PQ=AP+ PE，证明见解析．

【解析】

（1）（i）由∠C=90°、∠A=30°，可得出AB=2BC、∠CBD=60°，根据直角三角形斜边上的中线定理可得出BD=BC，即可得出△BCD为等边三角形；
（ii）由（i）可得出∠ECD=30°，根据∠BDC=∠EDF=60°可得出∠BDF=∠CDE，再结合BD=CD、DF=DE即可得出△BDF≌△CDE（SAS），根据全等三角形的性质即可得出∠DBF=∠DCE=30°，即∠DBF的度数不变；

（2）连接BP，延长BP至F，使PF=PE，连接EF，证出△PEF为等边三角形，得出PF=PE=EF，∠F=∠EPF=60°，得到∠F=∠BPQ=60°，证出∠Q=∠EBF，由AAS证明△BEF≌△QEP，得出PQ=FB=BP+PF=BP+PE，证出AP=BP，即可得出结论．

解：（1）（i）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠CBD=60°．
∵点D是AB中点，
∴BD=BC，
∴△BCD为等边三角形；
（ii）∠DBF的度数不变，
∵∠ACB=90°，点D是AB中点，
∴CD=AB=AD，
∴∠ECD=30°．
∵△BDC为等边三角形，
∴BD=DC，∠BDC=60°．
又∵△DEF为等边三角形，
∴DF=DE，∠FDE=60°，
∴∠BDC +∠FDC=∠FDE+∠FDC，
∴∠BDF=∠CDE．
在△BDF和△CDE中，

，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠DBF=∠DCE=30°，
即∠DBF的度数不变，∠DBF=30°；

（2） PQ=AP+ PE，理由如下：

连接BP，延长BP至F，使PF=PE，连接EF，如图所示：

∵在ABC中，，，点D是AB中点，DPAB，

∴AP=BP，∠ABP=∠A=30°，

∵∠FPE=∠A+∠ABP=30°+30°=60°，

∴△PEF为等边三角形，

∴PF=PE=EF,∠F=60°，

∵∠APQ=90°∠A=60°，

∴∠F=∠QPE=60°，

∴∠BPQ=180°∠APQ∠FPE=60°，

∴∠BPQ=∠BEQ=60°，

∴∠Q=∠EBF，

在△BEF和△QEP中，

∴△BEF≌△QEP，

∴PQ=FB=BP+PF，

∵AP=BP，PE=PF，

∴PQ=AP+ PE．