Question

12．已知，关于x的一元二次方程（k-3）x²-2（k²-4）x+3k-k²=0
（1）k取何值时，有一根为零？
（2）k取何值时，有两个互为相反数的实数根？

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入方程，得出3k-k²=0，解方程求出k的值，再根据一元二次方程的定义得到k-3≠0，进而求得k的值；
（2）由根与系数的关系及一元二次方程的定义得到得出$\frac{2（{k}^{2}-4）}{k-3}$=0，k-3≠0，求出k的值，再用根的判别式进行检验．

解答 解：（1）将x=0代入方程，得3k-k²=0，
解得k=0或3，
∵k-3≠0，
∴k≠3，
∴k=0；
（2）由题意，得$\frac{2（{k}^{2}-4）}{k-3}$=0，k-3≠0，
解得k=±2，
如果k=2，方程为-x²+2=0，△＞0，符合题意；
如果k=-2，方程为-5x²-10=0，△＜0，不符合题意；
所以k=2．

点评 本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解及一元二次方程的定义．