Question

7．如图，抛物线y=x²+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），交y轴于C，对称轴与x轴交于H，顶点为M，AC、BM的延长线交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P₁（n，y₁），P₂（n+1，y₂），P₃（n+2，y₃），问在此抛物线上是否存在整数n，使$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{14}$？若存在，请求出n；若不存在，请说明理由；
（3）P（x，0）为x轴上的一个动点，Q为线段MH上的一动点，若∠CQP=90°，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）只需把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（2）首先把y₁、y₂、y₃用n的式子表示，然后代入$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{14}$，得到关于n的方程，然后将方程转化为$\frac{6}{{n}^{2}-9}$+$\frac{4}{{n}^{2}-4}$+$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{6}{7}$①，然后运用放缩法得到16＜n²＜23，由此可得到满足条件的整数n不存在；
（3）可分点三种情况（P在点H的右边、点H处、点H的左边）讨论，然后只需运用相似三角形的性质及二次函数的性质，就可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式是y=x²-2x-3；

（2）不存在．
理由如下：
∵P₁（n，y₁），P₂（n+1，y₂），P₃（n+2，y₃）在抛物线y=x²-2x-3上，
∴${y}_{1}={n}^{2}-2n-3$=（n-3）（n+1），
${y}_{2}=（n+1）^{2}-2（n+1）-3={n}^{2}-4$=（n+2）（n-2），
${y}_{3}=（n+2）^{2}-2（n+2）-3={n}^{2}+2n-3$=（n+3）（n-1）．
∵$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{14}$，
∴$\frac{1}{（n-3）（n+1）}$+$\frac{1}{（n+2）（n-2）}$+$\frac{1}{（n+3）（n-1）}$=$\frac{3}{14}$，
∴$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-3}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n+2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{3}{14}$，
∴$\frac{1}{n-3}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{6}{7}$，
∴$\frac{6}{{n}^{2}-9}$+$\frac{4}{{n}^{2}-4}$+$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{6}{7}$①．
∵n为整数，
∴由①可得n²＞16．
∵n²-1＞n²-4＞n²-9＞0，
∴0＜$\frac{1}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-4}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-9}$，
∴$\frac{4}{{n}^{2}-4}$＜$\frac{4}{{n}^{2}-9}$，$\frac{2}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{2}{{n}^{2}-9}$，
∴$\frac{6}{{n}^{2}-9}$+$\frac{4}{{n}^{2}-4}$+$\frac{2}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{6}{{n}^{2}-9}$+$\frac{4}{{n}^{2}-9}$+$\frac{2}{{n}^{2}-9}$，
即$\frac{6}{7}$＜$\frac{12}{{n}^{2}-9}$，
∴n²＜23．
∵n²＞16，
∴16＜n²＜23，
∴不存在整数n，使得16＜n²＜23；

（3）①当点P在点H的右边时，如图1，

由y=x²-2x-3=（x-1）²-4可得：
C（0，-3），点M（1，-4），对称轴为x=1．
过点C作CN⊥MH于N，设NQ=m
则有NH=OC=3，CN=1，0＜m≤1，
∠CNQ=∠CQP=∠PHQ=90°，
∴∠CQN=∠HPQ=90°-∠HQP，
∴△CNQ∽△QHP，
∴$\frac{CN}{QH}$=$\frac{NQ}{HP}$，
∴PH•CN=QH•NQ，
∴PH=m（m+3）=（m+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴当m≥-$\frac{3}{2}$时，PH随着m的增大而增大．
∵0＜m≤1，
∴0＜PH≤（1+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，即0＜PH≤4，
∴0＜x-1≤4，
∴1＜x≤5；
②当点P在点H处时，点Q与点N重合，此时x=1；
③当点P在点H的左边时，如图2，

过点C作CN⊥MH于N，设NQ=m
则有NH=OC=3，CN=1，0＜m＜3，
∠CNQ=∠CQP=∠PHQ=90°，
∴∠CQN=∠HPQ=90°-∠HQP，
∴△CNQ∽△QHP，
∴$\frac{CN}{QH}$=$\frac{NQ}{HP}$，
∴PH•CN=QH•NQ，
∴PH=m（3-m）=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∵-1＜0，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，PH取最大值为$\frac{9}{4}$．
∵0＜m＜3，
∴0＜PH≤$\frac{9}{4}$，
∴0＜1-x≤$\frac{9}{4}$，
∴-1＜-x≤$\frac{5}{4}$，
∴-$\frac{5}{4}$≤x＜1．
综上所述：x的取值范围为-$\frac{5}{4}$≤x≤5．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、抛物线上点的坐标特征等知识，有一定的难度，运用放缩法是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．