Question

16．计算：$\frac{1}{{x}^{2}+3x+2}$+$\frac{1}{{x}^{2}+5x+6}$+$\frac{1}{{x}^{2}+7x+12}$+$\frac{1}{{x}^{2}+9x+20}$．

Answer 1

分析 首先把分母分解因式，再根据$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$，$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$=$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+3}$…进行计算，然后可化为$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+5}$，再通分计算即可．

解答 解：原式=$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+$\frac{1}{（x+3）（x+4）}$+$\frac{1}{（x+4）（x+5）}$，
=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+3}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{1}{x+4}$+$\frac{1}{x+4}$-$\frac{1}{x+5}$，
=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+5}$，
=$\frac{x+5-x-1}{（x+1）（x+5）}$，
=$\frac{4}{（x+1）（x+5）}$．

点评 此题主要考查了分式的加减法，关键是正确把分母分解因式，掌握$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．