Question

二次函数y=ax²+bx+c，当x=

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时，有最大值25，而方程ax²+bx+c=0的两根α、β，满足α³+β³=19，求a、b、c．

Answer 1

分析：设二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0），根据当x=

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时，有最大值25即可求出顶点，再根据根与系数的关系即可求解．

解答：解：设二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0），
∵当x=

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2

时，有最大值25，
即：顶点为(

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2

，25)，
∴y=a(x-

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2

)2+25=ax2-ax+

1

4

a+25，
由已知得：ax2-ax+

1

4

a+25=0的两根为α、β，满足α³+β³=19，
∴（α+β）[（α+β）²-3αβ]=19，
根据两根之和与两根之积的关系：α+β=1，αβ=

1

4

+

25

a

，
代入得：1-3（

1

4

+

25

a

）=19，
解得：a=-4，
∴y=-4x²+4x+24，即a=-4，b=4，c=24．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式及根与系数的关系，难度较大，关键是正确设出二次函数顶点式的形式再根据已知条件解答．